Question

Внизу pi/4 наверху pi/2 cos2xdx

Answer 1

$\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {cos2x} \, dx =\frac{1}{2}sin2x=\frac{1}{2}sin(2*\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}sin(2*\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}sin\pi-\frac{1}{2}sin\frac{\pi}{2}=\\\frac{1}{2}*0-\frac{1}{2}*1=-\frac{1}{2}$

Answer 2

Интеграл от cos(2x)dx в пределах от pi/4 до pi/2 равен:

∫[pi/4, pi/2] cos(2x)dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать замену переменной. Пусть u = 2x, тогда du = 2dx. Мы также можем выразить dx через du, получив dx = du/2.

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах переменной u:

∫[pi/4, pi/2] cos(2x)dx = (1/2)∫[pi/4, pi/2] cos(u)du

Используя тригонометрическое тождество, мы знаем, что:

∫ cos(u)du = sin(u) + C,

где C - постоянная.

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл:

(1/2)∫[pi/4, pi/2] cos(u)du = (1/2)[sin(u)]|[pi/4, pi/2]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

(1/2)[sin(pi/2) - sin(pi/4)] = (1/2)[1 - √2/2] = 1/2 - √2/4.

Таким образом, интеграл от cos(2x)dx в пределах от pi/4 до pi/2 равен 1/2 - √2/4.