Question

Решите уравнения 4 sin2x-7 sin x cox x +cos 2 x=0

Answer 1

Смотри приложенный файл

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более простому виду, используя тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса.

Уравнение: 4sin(2x) - 7sin(x)cos(x) + cos(2x) = 0

Мы можем использовать формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Заменим sin(2x) и cos(2x) в уравнении:

4(2sin(x)cos(x)) - 7sin(x)cos(x) + (cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Упростим уравнение:

8sin(x)cos(x) - 7sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Теперь объединим подобные члены и приведем уравнение к одному виду:

cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 0

Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) с использованием тригонометрического тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) - (1 - cos^2(x)) = 0

Раскроем скобки:

cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) - 1 + cos^2(x) = 0

Упростим:

2cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь перепишем уравнение в виде квадратного уравнения с переменной t = cos(x):

2t^2 - 6sin(x)t - 1 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение используя квадратное уравнение для t:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 2, b = -6sin(x), c = -1.

Подставим значения:

t = (-(-6sin(x)) ± √((-6sin(x))^2 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)

Упростим:

t = (6sin(x) ± √(36sin^2(x) + 8)) / 4

t = (3sin(x) ± √(9sin^2(x) + 2)) / 2

Мы получили значение t в зависимости от sin(x). Теперь мы можем решить это уравнение для sin(x).

Решение уравнения для sin(x)

2t = 3sin(x) ± √(9sin^2(x) + 2)

Для удобства заменим sin(x) на u:

2t = 3u ± √(9u^2 + 2)

Теперь решим данное квадратное уравнение для u:

9u^2 + 2 = (2t - 3u)^2

Раскроем скобки:

9u^2 + 2 = 4t^2 - 12tu + 9u^2

Упростим:

4t^2 - 12tu + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для u:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 4, b = -12t, c = 2.

Подставим значения:

u = (-(-12t) ± √((-12t)^2 - 4 * 4 * 2)) / (2 * 4)

Упростим:

u = (12t ± √(144t^2 - 32)) / 8

u = (3t ± √(36t^2 - 8)) / 2

Теперь мы имеем значение u в зависимости от t. Чтобы решить уравнение для sin(x), мы должны подставить значение sin(x) обратно:

sin(x) = u

sin(x) = (3t ± √(36t^2 - 8)) / 2

Таким образом, мы получаем два возможных значения sin(x), в зависимости от t:

sin(x) = (3t + √(36t^2 - 8)) / 2 или sin(x) = (3t - √(36t^2 - 8)) / 2

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные функции синуса.