Question

а) Решите уравнение 6sin^2x+5cosx-2=0б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5п/2 ; 4п]

Answer 1

Sin^2 x = 1 - cos^2 x
6 - 6cos^2 x + 5cos x - 2 = 0
-6cos^2 x + 5cos x + 4 = 0
6cos^2 x - 5cos x -4 = 0
Квадратное уравнение относительно cos x
D = 5^2 - 4*6(-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2
cos x = (5 - 11)/12 = -6/12 = -1/2
x = +-2pi/3 + 2pi*n
cos x = (5 + 11)/12 = 16/12 > 1
Решений нет
Отрезку [5pi/2; 4pi] = [15pi/6; 24pi/6] принадлежат корни
x1 = 2pi/3 + 2pi = 8pi/3 = 16pi/6;
x2 = -2pi/3 + 4pi = 10pi/3 = 20pi/6

Answer 2

Решение уравнения 6sin^2x + 5cosx - 2 = 0

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства, чтобы преобразовать его в более удобную форму.

Давайте разберемся с уравнением поэтапно:

1. Применим тождество sin^2x + cos^2x = 1. Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

6sin^2x + 6cos^2x - 12 = 0

2. Заменим cos^2x на (1 - sin^2x):

6sin^2x + 6(1 - sin^2x) - 12 = 0

Упростим уравнение:

6sin^2x + 6 - 6sin^2x - 12 = 0

-6sin^2x - 6 = 0

-6(sin^2x + 1) = 0

sin^2x + 1 = 0

3. Заменим sin^2x на 1 - cos^2x:

1 - cos^2x + 1 = 0

-cos^2x + 2 = 0

cos^2x - 2 = 0

4. Решим полученное квадратное уравнение:

cos^2x - 2 = 0

cos^2x = 2

cosx = ±√2

x = arccos(±√2)

Однако, в исходном уравнении у нас также есть sin^2x, поэтому нам нужно проверить, где синус будет равен нулю.

5. Рассмотрим два случая:

a) cosx = √2

В этом случае, sinx не может быть равен 0, так как в уравнении есть sin^2x. Таким образом, нет решений для этого случая.

b) cosx = -√2

В этом случае, sinx может быть равен 0, так как sin^2x = 0. Таким образом, у нас есть решение для этого случая.

6. Резюмируя, получаем решение уравнения:

x = arccos(-√2) + 2kπ или x = π - arccos(-√2) + 2kπ, где k - целое число.

Поиск корней на отрезке [5π/2, 4π]

Чтобы найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2, 4π], мы должны найти значения x, которые удовлетворяют условию и находятся в данном интервале.

Из решения уравнения в предыдущем разделе мы знаем, что возможные значения x это:

x = arccos(-√2) + 2kπ или x = π - arccos(-√2) + 2kπ, где k - целое число.

Теперь нам нужно проверить, какие из этих значений x принадлежат отрезку [5π/2, 4π].

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. x = arccos(-√2) + 2kπ

Подставим значения k = 0, 1, 2, ... и проверим, принадлежат ли полученные значения отрезку [5π/2, 4π].

При k = 0, x = arccos(-√2)

При k = 1, x = arccos(-√2) + 2π

При k = 2, x = arccos(-√2) + 4π

...

Мы видим, что значения x, полученные этим способом, не принадлежат отрезку [5π/2, 4π].

2. x = π - arccos(-√2) + 2kπ

Подставим значения k = 0, 1, 2, ... и проверим, принадлежат ли полученные значения отрезку [5π/2, 4π].

При k = 0, x = π - arccos(-√2)

При k = 1, x = π - arccos(-√2) + 2π

При k = 2, x = π - arccos(-√2) + 4π

...

Мы видим, что значения x, полученные этим способом, также не принадлежат отрезку [5π/2, 4π].

Таким образом, уравнение 6sin^2x + 5cosx - 2 = 0 не имеет корней, принадлежащих отрезку [5π/2, 4π].