Question

1. дано f'(x)=x^3 найти f'(-1) 2. решите уравнение 4^x-2=(1/4)^2x-1 3. вычислите интеграл от 1 до 2 x^4dx 4. найдите минимумы функции f(x)=3x-x^3

Answer 1

1)f`(-1)=(-1)^3=-1

2)4^x-2=4^1-2x, x-2=1-2x, 3x=3,x=1

3)X^5/5 от 1 до 2, 2^5/5- 1^5/5=31/5

4)найдем производную f`(x)=3-3x^2.приравняем к нулю.

3x^2=3, x^2=1, x=+-1. они же и являются точками минимума

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

1)$f'(-1)=(-1)^3=-1$

 

2)$4^{x-2}=(\frac{1}{4})^{2x-1}\\4^{x-2}=(4^{-1})^{2x-1}\\x-2=-2x+1\\3x=3\\x=1$ 

 

3)$\int\limits_{1}^{2} x^4 dx=\frac{x^5}{5}|\limits_1^2=\frac{2^5}{5}-\frac{1^5}{5}=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5}$

 

4)$f'(x)=(3x-x^3)'=3-3x^2\\f'(x)=0\\3-3x^2=0\\x^2=1\\x=1\ \ \ \ \ \ x=-1$

x=1 - точка максимума функции.

х=-1 - точка минимума функции. 

Answer 3

1. Найдите f'(-1):

Для нахождения производной функции f(x) = x^3, мы просто берем производную от каждого члена по отдельности. Таким образом, производная f'(x) будет равна 3x^2.

Подставим x = -1 в выражение для производной: f'(-1) = 3(-1)^2 f'(-1) = 3(1) f'(-1) = 3

Таким образом, f'(-1) = 3.

2. Решите уравнение 4^x - 2 = (1/4)^(2x-1):

Для решения этого уравнения, мы можем привести оба члена к общему основанию и решить полученное уравнение.

4^x - 2 = (1/4)^(2x-1)

Приведем оба члена к основанию 4:

(2^2)^x - 2 = (4^(-1))^(2x-1)

2^(2x) - 2 = 4^(-2x + 1)

Приведем оба члена к основанию 2:

(2^(2x))^2 - 2 = (2^(-2))^(-2x + 1)

2^(4x) - 2 = 2^(-4x + 2)

Теперь мы можем приравнять экспоненты с одинаковыми основаниями:

4x = -4x + 2

8x = 2

x = 2/8

x = 1/4

Таким образом, решением уравнения 4^x - 2 = (1/4)^(2x-1) является x = 1/4.

3. Вычислите интеграл от 1 до 2 x^4dx:

Для вычисления данного интеграла, мы будем использовать правило степенной функции интеграла.

Интеграл от x^4dx равен (1/5)x^5 + C.

Вычислим интеграл от 1 до 2 x^4dx:

(1/5)*(2^5) - (1/5)*(1^5) = (1/5)*32 - (1/5)*1 = 32/5 - 1/5 = 31/5.

Таким образом, интеграл от 1 до 2 x^4dx равен 31/5.

4. Найдите минимумы функции f(x) = 3x - x^3:

Чтобы найти минимумы функции, мы должны найти значения x, при которых производная f'(x) равна 0 или не существует.

Найдем производную функции f(x) = 3x - x^3:

f'(x) = 3 - 3x^2.

Чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, мы решим уравнение:

3 - 3x^2 = 0.

3x^2 = 3.

x^2 = 1.

x = ±1.

Таким образом, значения x = -1 и x = 1 являются критическими точками функции f(x) = 3x - x^3.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, мы можем взять вторую производную f''(x) и проверить ее значение в этих точках.

f''(x) = -6x.

f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0.

f''(1) = -6(1) = -6 < 0.

Таким образом, при x = -1 функция имеет минимум, а при x = 1 функция имеет максимум.

Итак, минимумы функции f(x) = 3x - x^3 находятся при x = -1.