Question

√3sinx+2sin(2x+П/6)=√3sin2x+1 [-3П;-3П/2] Подробное решение

Answer 1

Ответ:

-3π;-2π;-5π/3

Объяснение:

2*sin2x*сosП/6 + 2cos2x*sinП/6 + √3*sinx=√3sin2x+1

√3*sin2x + cos2x  + √3*sinx=√3sin2x+1

1-2sin²x  + √3*sinx=1

-2sin²x + √3*sinx= 0

sinx*(-2*sinx + √3) = 0

1) sinx=0

x=πm, m∈Z

2) -2sinx + √3=0

sinx=√3/2

x=π/3+2πk, k∈Z

x=2π/3+2πn, n∈Z

Отбор корней на отрезке [-3π; -3π/2]

m=-1 x=-π - не подходит

m=-2 x=-2π - подходит

m=-3 x=-3π - подходит

m=-4 x=-4π - не подходит

k=0 x=π/3 - не подходит

k=-1 x=-5π/3 - подходит

k=-2 x=-11π/3 - не подходит

n=0 x=2π/3 - не подходит

n=-1 x=-4π/3 - не подходит

n=-2 x=-10π/3 - не подходит

Ответ:

а) x=πm, m∈Z

x=π/3+2πk, k∈Z

x=2π/3+2πn, n∈Z

б) -3π;-2π;-5π/3

Answer 2

Давайте попробуем решить данное уравнение шаг за шагом на интервале от -3π до -3π/2:

Уравнение: √3sin(x) + 2sin(2x + π/6) = √3sin(2x) + 1

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: √3sin(x) + 2(2sin(x)cos(π/6) + cos(x)sin(π/6)) = √3(2sin(x)cos(x)) + 1

2. Упростим выражения, учитывая, что cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2: √3sin(x) + 2(2sin(x)(√3/2) + cos(x)(1/2)) = √3(2sin(x)cos(x)) + 1

3. Продолжим упрощение: √3sin(x) + 2(√3sin(x) + cos(x)/2) = √3(2sin(x)cos(x)) + 1

4. Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены: √3sin(x) + 2√3sin(x) + cos(x) = √3(2sin(x)cos(x)) + 1

5. Теперь выразим sin(2x) через sin(x) и cos(x) (используя тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x)): √3sin(x) + 2√3sin(x) + cos(x) = √3(2sin(x)cos(x)) + 1

6. Сгруппируем члены с sin(x): √3sin(x) + 2√3sin(x) - √3(2sin(x)cos(x)) - cos(x) + 1 = 0

7. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x): (3√3 - 2√3)sin(x) - √3(2sin(x)cos(x)) - cos(x) + 1 = 0

   sin(x) - √3(2sin(x)cos(x)) - cos(x) + 1 = 0

8. Попробуем выразить cos(x) через sin(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos(x) = √(1 - sin^2(x))

9. Подставим это выражение для cos(x) в уравнение: sin(x) - √3(2sin(x)√(1 - sin^2(x))) - √(1 - sin^2(x)) + 1 = 0

10. Решим данное уравнение. Сначала сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение:

Пусть t = sin(x), тогда √(1 - sin^2(x)) = √(1 - t^2)

Уравнение станет: t - √3(2t√(1 - t^2)) - √(1 - t^2) + 1 = 0

11. Теперь решим это уравнение для t.

t - √3(2t√(1 - t^2)) - √(1 - t^2) + 1 = 0

Попробуем решить уравнение численно или графически, так как оно не имеет аналитического решения.

Используя программное обеспечение для численного решения уравнений или графический метод, вы сможете найти приближенные значения x на интервале [-3π, -3π/2], которые удовлетворяют данному уравнению.