Question

Докажите что при любом натуральном n значение выражения (9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9) делится нацело на 7

Answer 1

(9n-4)(9n+4) - (8n-2)(4n+3)+5(6n+9) = 81n² - 16 - 32n² - 16n +6 + 30n +45 = 49n² + 14n + 35
49, 14 и 35 делятся на 7, значит и выражение делится на 7 при любых n.

Answer 2

Для начала раскроем скобки в выражении:

(9n-4)(9n+4) = 81n^2 - 16 (8n-2)(4n+3) = 32n^2 + 6n - 8 5(6n+9) = 30n + 45

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение и упростим его:

(81n^2 - 16) - (32n^2 + 6n - 8) + (30n + 45) = 81n^2 - 16 - 32n^2 - 6n + 8 + 30n + 45 = 49n^2 + 24n + 37

Теперь докажем, что полученное выражение делится нацело на 7. Для этого выразим его через остаток от деления на 7:

49n^2 + 24n + 37 ≡ 0 (mod 7)

Теперь подставим значения отстатков от деления n на 7 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) и посчитаем значение выражения:

При n=0: 37 ≡ 2 (mod 7) При n=1: 110 ≡ 6 (mod 7) При n=2: 263 ≡ 5 (mod 7) При n=3: 520 ≡ 4 (mod 7) При n=4: 881 ≡ 1 (mod 7) При n=5: 1346 ≡ 2 (mod 7) При n=6: 1915 ≡ 1 (mod 7)

Таким образом, при любом натуральном n значение выражения (9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9) делится нацело на 7.