Question

2cos ^ 2 * ((2pi)/2 - x) - 5cos(pi - x) + 1 = 0

Answer 1

Ответ:x ≈ 2,301 radians.

Объяснение:

1. Замена переменной

Для удобства решения данного уравнения мы можем ввести замену переменной y = pi - x. Тогда наше уравнение примет вид:

2cos^2(π - y/2) - 5cos(y) + 1 = 0.

2. Применение тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования выражения 2cos^2(π - y/2):

cos(π - y) = -cos(y),

cos^2(π - y/2) = (1 + cos(y))/2.

Тогда наше уравнение примет вид:

(1 + cos(y)) - 5cos(y) + 1 = 0.

3. Решение уравнения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

3cos(y) - 2 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение y:

cos(y) = 2/3.

y = arccos(2/3) ≈ 0,841 radians.

4. Нахождение значения x

Используя замену переменной y = pi - x, мы можем выразить x:

y = pi - x,

x = pi - y.

Тогда x ≈ pi - 0,841 ≈ 2,301 radians.

Таким образом, мы получили решение данного уравнения: x ≈ 2,301 radians.

Answer 2

Let's solve the trigonometric equation:

$2\cos^2\left(\frac{2\pi}{2} - x\right) - 5\cos(\pi - x) + 1 = 0.$

First, let's simplify the expression using trigonometric identities:

1. Double-Angle Identity: $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$

2. Complementary Angle Identity: $\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$

Now, let's substitute these identities into the equation:

$2\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) + 5\cos(x) + 1 = 0.$

Simplify further:

$\cos(2x) + 5\cos(x) + 1 = 0.$

Now, let's make a substitution to simplify further. Let $u = \cos(x)$, then the equation becomes:

$u^2 + 5u + 1 = 0.$

Now, we can solve this quadratic equation for $u$. Using the quadratic formula:

$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

where $a = 1$, $b = 5$, and $c = 1$. Plug in these values:

$u = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(1)}}{2}.$

$u = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}.$

So, the solutions for $u$ are:

$u_1 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$

$u_2 = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}$

Now, remember that $u = \cos(x)$. Therefore, $x$ can be found by taking the arccosine (inverse cosine) of these values:

$x_1 = \cos^{-1}\left(\frac{-5 + \sqrt{21}}{2}\right)$

$x_2 = \cos^{-1}\left(\frac{-5 - \sqrt{21}}{2}\right)$

These are the solutions to the given trigonometric equation. Keep in mind that the domain of the arccosine function is $[-1, 1]$, so make sure the values inside the arccosine function fall within this range for real solutions.