Question

В арифметической прогрессии сумма 2-го, 4-го и 6-го членов равна 120, а произведение 4-го и 8-го членов равно 320. Сколько членов этой прогрессии следует взять, чтобы их сумма равнялась 288?

Answer 1

Ответ:

8 или 9

Объяснение:

$\left \{ {{a_2+a_4+a_6=120} \atop a_4*a_8=320} \right.$$\left \{ {{a_1+d+a_1+3d+a_1+5d=120} \atop {(a_1+3d)(a_1+7d)=320 \right.$=>$\left \{3a_1+9d}=120 \atop {(a_1+3d)(a_1+7d)=320}} \right.$$\left \{ {a_1+3d=40} \atop {a_1+7d}=8} \right.$=>

$4d=-32= > d=-8\\a_1=40-3d=40+24=64$

$\frac{2a_1+(n-1)d}{2} *n=288= > \frac{128+(n-1)*(-8)}{2}*n=288= > 128n-8n^2+8n=576\\ 8n^2-136n+576=0\\\\n^2-17n+72=0\\(n-8)(n-9)=0\\n_1=8\\n_2=9$

Answer 2

Давайте обозначим арифметическую прогрессию следующим образом:

a - первый член прогрессии d - разность между членами прогрессии (по определению арифметической прогрессии)

Тогда можно записать следующие уравнения на основе информации, предоставленной в задаче:

1. a + 1d + a + 3d + a + 5d = 120 (сумма 2-го, 4-го и 6-го членов равна 120)
2. (a + 3d) * (a + 7d) = 320 (произведение 4-го и 8-го членов равно 320)

Решим первое уравнение:

3a + 9d = 120

Упростим его:

a + 3d = 40

Теперь решим второе уравнение:

(a + 3d) * (a + 7d) = 320

Раскроем скобки и упростим:

a^2 + 10ad + 21d^2 = 320

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + 3d = 40
2. a^2 + 10ad + 21d^2 = 320

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала найдем значения a и d:

Из первого уравнения: a = 40 - 3d

Подставим это выражение для a во второе уравнение:

(40 - 3d)^2 + 10(40 - 3d)d + 21d^2 = 320

Раскроем скобки и упростим уравнение:

1600 - 240d + 9d^2 + 400d - 30d^2 + 21d^2 = 320

Теперь объединим подобные члены и упростим:

1600 - 240d + 9d^2 + 400d - 30d^2 + 21d^2 = 320

Получим квадратное уравнение:

9d^2 - 30d^2 + 21d^2 - 240d + 400d + 1600 - 320 = 0

Итак, у нас есть уравнение:

9d^2 - 30d + 400 = 0

Теперь решим это уравнение. Для этого используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 * 9 * 400 = 900 - 14400 = -13500

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней для этого уравнения. Это означает, что данная арифметическая прогрессия не имеет решения с целыми числами a и d, которые удовлетворяют обоим условиям из задачи.

Следовательно, невозможно найти члены этой прогрессии таким образом, чтобы их сумма равнялась 288.