Question

Упростите выражение: sinx/(tg(П/4-x/2)(1+sinx))

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

1. $\tan(\pi/4) = 1$
2. $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

Используем первое тождество: $\tan(\pi/4 - x/2) = \frac{\sin(\pi/4 - x/2)}{\cos(\pi/4 - x/2)} = \frac{\sin(\pi/4)\cos(x/2) - \cos(\pi/4)\sin(x/2)}{\cos(\pi/4)\cos(x/2) + \sin(\pi/4)\sin(x/2)} = \frac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)}$

Теперь заменим этот результат в исходном выражении: $\frac{\sin(x)}{\tan(\pi/4 - x/2)(1 + \sin(x))} = \frac{\sin(x)}{\frac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)} \cdot (1 + \sin(x))}$

Далее, можно упростить числитель: $\frac{\sin(x)}{\frac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)} \cdot (1 + \sin(x))} = \frac{\sin(x)}{\frac{\cos(x/2)(1 + \sin(x)) - \sin(x/2)(1 + \sin(x))}{\cos(x/2) + \sin(x/2)}}$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{\sin(x)}{\frac{\cos(x/2) + \cos(x/2)\sin(x) - \sin(x/2) - \sin(x/2)\sin(x)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)}}$

Сократим общий множитель в числителе и знаменателе: $\frac{\sin(x)}{\cos(x/2) + \sin(x/2) - \sin(x/2) - \cos(x/2)\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{0} = \text{неопределено}$

Итак, упрощенное выражение равно $\text{неопределено}$, так как в знаменателе получается $0$, что делает выражение недопустимым.