Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=6(x-x^2), на оси oX

Answer 1

В приложении ..........

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой функции y = 6(x - x^2) и осью Ox, нужно найти точки пересечения кривой с осью Ox и затем вычислить определенный интеграл от кривой до оси Ox.

1. Найдем точки пересечения с осью Ox: Когда кривая пересекает ось Ox, значение y равно нулю, поэтому: 6(x - x^2) = 0

Разделим обе стороны на 6: x - x^2 = 0

Факторизуем: x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

2. Теперь вычислим определенный интеграл от кривой до оси Ox, чтобы найти площадь фигуры:

S = ∫[a, b] |f(x)| dx

где f(x) = 6(x - x^2) и a, b - точки пересечения с осью Ox.

Таким образом, площадь фигуры равна:

S = ∫[0, 1] |6(x - x^2)| dx

Модуль здесь необходим, потому что кривая может находиться как выше, так и ниже оси Ox, и мы хотим получить положительное значение площади.

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[0, 1] 6(x - x^2) dx

S = 6 ∫[0, 1] (x - x^2) dx

S = 6 [(x^2/2) - (x^3/3)] |[0, 1]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = 6 [(1^2/2) - (1^3/3)] - 6 [(0^2/2) - (0^3/3)]

S = 6 [(1/2) - (1/3)] - 6 [0]

S = 6 [(3/6) - (2/6)]

S = 6 * 1/6

S = 1

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией y = 6(x - x^2) и осью Ox, равна 1 квадратному единице.