Question

Помоги пожалуйста решить. 2sin²x = cosx + 1

Answer 1

$2\sin^2x = \cos x + 1\\2(1-\cos^2x) - \cos x - 1=0\\2-2\cos^2x - \cos x - 1=0\\-2\cos^2x - \cos x + 1=0\\2\cos^2x + \cos x - 1=0\\D=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\\\cos x_1= \dfrac{-1-3}{2\cdot2} =-1 \Rightarrow \boxed{x_1=\pi +2\pi n, \ n\in Z}\\\\\cos x_2= \dfrac{-1+3}{2\cdot2}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{x_2=\pm \dfrac{\pi}{3} +2\pi n, \ n\in Z}$

Answer 2

Конечно, помогу решить уравнение 2sin²x = cosx + 1.

Для начала, преобразуем уравнение, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что sin²x + cos²x = 1, поэтому можем заменить sin²x в уравнении:

2(1 - cos²x) = cosx + 1

Теперь решим уравнение:

2 - 2cos²x = cosx + 1

Перенесем все члены в левую часть:

2cos²x + cosx - 1 = 0

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно cosx. Давайте решим его с помощью квадратной формулы:

cosx = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

где a = 2, b = 1 и c = -1. Подставим значения:

cosx = [-(1) ± √(1² - 4 * 2 * -1)] / 2 * 2 cosx = [-1 ± √(1 + 8)] / 4 cosx = [-1 ± √9] / 4 cosx = [-1 ± 3] / 4

Теперь у нас два случая:

1. cosx = (3 - 1) / 4 = 2/4 = 1/2
2. cosx = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1

Теперь найдем значения x для каждого из случаев, используя обратные тригонометрические функции:

1. cosx = 1/2 x₁ = arccos(1/2) ≈ π/3 x₂ = -arccos(1/2) ≈ -π/3

2. cosx = -1 x₃ = arccos(-1) ≈ π x₄ = -arccos(-1) ≈ -π

Таким образом, уравнение 2sin²x = cosx + 1 имеет четыре решения: x₁ ≈ π/3 x₂ ≈ -π/3 x₃ ≈ π x₄ ≈ -π

Пожалуйста, обратите внимание, что тригонометрические функции являются периодическими, поэтому для нахождения всех возможных решений необходимо добавить любое целое число умноженное на период функции (обычно это 2π) к каждому из значений x.