Question

Найти промежутки убывания и возрастания : y=√x²+8x (Все уравнение под корнем)

Answer 1

$y=\sqrt{x^2+8x}\\y'=\frac{(x^2+8x)'}{2\sqrt{x^2+8x}}=\\\frac{2x*1+8}{2\sqrt{x^2+8x}}=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+8x}};\\x^2+8x\geq0=>\left[\begin{array}{ccc}x\leq-8\\x\geq0\\\end{array}$

Когда производная положительная функция возрастает, когда отрицательная - убывает.

Ответ: убывает - (-∞;-8]

           возрастает - [0;+∞)

Answer 2

Чтобы найти промежутки убывания и возрастания функции y = √(x² + 8x), нужно определить, при каких значениях x производная этой функции положительна и отрицательна.

1. Найдем производную функции y по x: y = √(x² + 8x) y' = d/dx(√(x² + 8x))

Для удобства воспользуемся заменой u = x² + 8x. Тогда: y' = d/dx(√u) Теперь найдем производную этого нового выражения по u и умножим на производную u по x: y' = (1 / (2√u)) * d/du(u) y' = (1 / (2√u)) * 1 y' = 1 / (2√u)

2. Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю: 1 / (2√u) = 0

Производная равна нулю, когда знаменатель равен бесконечности, то есть при u = x² + 8x = 0.

3. Найдем значения x, при которых производная не определена (разрывы функции): Знаменатель 2√u не может быть равен нулю, поэтому исключаем значения x, при которых u = x² + 8x < 0, так как в этом случае производная будет не определена.

Теперь определим интервалы убывания и возрастания функции:

a) Когда производная y' > 0 (функция возрастает): 1 / (2√u) > 0 Так как 2√u всегда положительно (вне зависимости от значения x), то производная положительна для всех значений x, кроме разрывов.

b) Когда производная y' < 0 (функция убывает): 1 / (2√u) < 0 Производная будет отрицательна для значений x, при которых u = x² + 8x > 0 (при этом исключаем значения x, которые вызывают разрывы).

Таким образом, функция y = √(x² + 8x) возрастает на всей числовой прямой, за исключением точки разрыва при x = 0. В остальных точках функция убывает.