Question

cos^2x-5sinx*cosx+4sin^2x=0 Решите тригонометрическое уравнение, используя однородность. Помогите плиииз

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для решения этого тригонометрического уравнения, мы можем воспользоваться заменой, которая упростит его до квадратного уравнения и далее решим его стандартными методами. Для этого давайте введем новую переменную:

Пусть $t = \sin{x}$.

Тогда $\cos{x} = \sqrt{1 - t^2}$.

Теперь заменим $\cos{x}$ и $\sin{x}$ в уравнении:

$\cos^2{x} - 5\sin{x} \cos{x} + 4\sin^2{x} = 0$
$(\sqrt{1 - t^2})^2 - 5t\sqrt{1 - t^2} + 4t^2 = 0$
$1 - t^2 - 5t\sqrt{1 - t^2} + 4t^2 = 0$
$5t\sqrt{1 - t^2} - 3t^2 - 1 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $t$:

$5t\sqrt{1 - t^2} - 3t^2 - 1 = 0$

Теперь решим это уравнение.

1. Возведем уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(5t\sqrt{1 - t^2})^2 = (3t^2 + 1)^2$
$25t^2(1 - t^2) = 9t^4 + 6t^2 + 1$
$25t^2 - 25t^4 = 9t^4 + 6t^2 + 1$
$34t^4 + 19t^2 + 1 = 0$

2. Обозначим $t^2 = u$:

$34u^2 + 19u + 1 = 0$

3. Теперь решим квадратное уравнение относительно $u$. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 34$, $b = 19$, $c = 1$:

$u = \frac{-19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 34 \cdot 1}}{2 \cdot 34}$
$u = \frac{-19 \pm \sqrt{361 - 136}}{68}$
$u = \frac{-19 \pm \sqrt{225}}{68}$
$u = \frac{-19 \pm 15}{68}$

Таким образом, у нас два значения $u$:

1. $u_1 = \frac{-19 + 15}{68} = \frac{-4}{68} = -\frac{1}{17}$