Question

Если f(x)=2sinx^2 * cosx, то чему равно f '(π/2)?

Answer 1

$f'(x) = (2\sin x^2)' \cdot \cos x + 2\sin x^2 \cdot (\cos x)' = 2\cos x^2 \cdot (x^2)' \cos x + 2 \sin x^2 \cdot (-\sin x) = 2\cos x^2 \cdot 2x \cos x - 2 \sin x^2 \cdot \sin x = 4x\cdot \cos x \cdot \cos x^2 - 2\sin x \cdot \sin x^2\\f'(\frac{\pi}{2}) = 4\cdot \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} \cos (\frac{\pi}{2})^2 - 2 \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin (\frac{\pi}{2})^2 = 2\pi\cdot 0\cdot \cos \frac{\pi^2}{4} - 2\cdot 1 \sin (\frac{\pi^2}{4}) = 0 - 2\sin (\frac{\pi^2}{4}) = - 2\sin (\frac{\pi^2}{4})$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = 2sin(x^2) * cos(x) и её значения в точке x = π/2, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x, используя правила дифференцирования.

Используем правило производной произведения функций: (d/dx)(u * v) = u' * v + u * v',

где u' - производная первой функции u по x, v' - производная второй функции v по x.

Подставим u = 2sin(x^2) и v = cos(x):

f'(x) = (d/dx)(2sin(x^2) * cos(x)) = (d/dx)(2sin(x^2)) * cos(x) + 2sin(x^2) * (d/dx)(cos(x)).

Теперь найдем производные каждого слагаемого:

(d/dx)(2sin(x^2)) = 2 * (d/dx)(sin(x^2)).

Используем цепное правило дифференцирования для sin(u):

(d/dx)(sin(u)) = cos(u) * (d/du)(u), где u = x^2.

(d/dx)(x^2) = 2x, поэтому

(d/dx)(sin(x^2)) = cos(x^2) * (d/dx)(x^2) = 2x * cos(x^2).

Теперь найдем производную cos(x):

(d/dx)(cos(x)) = -sin(x).

Теперь можем вернуться к нашей производной f'(x):

f'(x) = 2 * 2x * cos(x^2) * cos(x) - 2sin(x^2) * sin(x).

Шаг 2: Найдем значение производной в точке x = π/2:

f'(π/2) = 2 * 2 * (π/2) * cos((π/2)^2) * cos(π/2) - 2sin((π/2)^2) * sin(π/2) = 2π * cos((π/2)^2) * cos(π/2) - 2sin((π/2)^2) * 1 = 2π * cos(π^2/4) * cos(π/2) - 2sin(π^2/4).

Теперь посчитаем конкретные значения:

cos(π^2/4) = cos(π/2) = 0, так как cos(π/2) = 0. sin(π^2/4) = sin(π/2) = 1, так как sin(π/2) = 1.

Подставим значения:

f'(π/2) = 2π * 0 * cos(π/2) - 2 * 1 = 0 - 2 = -2.

Итак, f'(π/2) = -2.