Question

4sinx+4cos^x=1 помогите,пожалуйста)

Answer 1

4sinx + 4cos²x = 1

4sinx + 4(1 - sin²x) - 1 = 0

4sinx + 4 - 4sin²x - 1 = 0

- 4sin²x + 4sinx + 3 = 0

4sin²x - 4sinx - 3 = 0

Предлагаю ввести замену. Пусть sinx = t. Причем t ∈ [ -1 ; +1 ]. Тогда:

4t² - 4t - 3 = 0

D = b² - 4ac = 16 - 4 * 4 * (-3) = 64

t(1) = (-b-√D)/2a = -0.5

t(2) = (-b+√D)/2a = 1.5     x ∉ R

Вернемся к замене:

sinx = -0.5

x = 11П/6 + 2Пn           n ∈ Z

x = 7П/6 + 2Пn            n ∈ Z

Ответ: 11П/6 + 2Пn и 7П/6 + 2Пn  причем в обоих n ∈ Z

_____________________

P.S

Ответы можно дать разными способами. В приложении схематично показано как рассуждать в таком случае пользуясь окружностью.

Answer 2

$4\sin x + 4\cos^{2} x = 1$

$4\sin x + 4(1 - \sin^{2}x) = 1$

$4\sin x + 4 - 4\sin^{2}x = 1$

$4\sin^{2}x - 4\sin x - 3 = 0$

Замена: $\sin x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$4t^{2} - 4t - 3 = 0$

$D = (-4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

$t_{1} = \dfrac{4 + 8}{8} = \dfrac{12}{8} > 1$ — не удовлетворяет условию

$t_{2} = \dfrac{4 - 8}{8} = -\dfrac{4}{8} =-\dfrac{1}{2}$

Обратная замена:

$\sin x = -\dfrac{1}{2}$

$x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \left(-\dfrac{1}{2} \right) + \pi n, \ n \in Z$

$x = (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot \arcsin \dfrac{1}{2} + \pi n, \ n \in Z$

$x = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Answer 3

Конечно, я помогу вам решить уравнение. Для начала, давайте преобразуем уравнение, чтобы выразить одну из функций через другую. Мы заметим, что у нас есть как синус и косинус в уравнении, и хотелось бы свести это к одной функции. Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

Разделим всё уравнение на 4:

sin(x) + cos^2(x) = 1/4.

Теперь выразим sin(x) через cos(x) с помощью идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin(x) = 1 - cos^2(x).

Подставим это выражение в уравнение:

1 - cos^2(x) + cos^2(x) = 1/4.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos^2(x):

1 - cos^2(x) + cos^2(x) = 1/4, 1 - cos^2(x) = 1/4, cos^2(x) = 3/4.

Теперь найдем значения cos(x):

cos(x) = ±√(3/4) = ±√3/2.

Так как мы ищем решения для sin(x) и cos(x) в интервале [0, 2π], то у нас есть два случая:

1. cos(x) = √3/2: Находим соответствующее значение sin(x) с помощью sin^2(x) + cos^2(x) = 1: sin(x) = √(1 - (√3/2)^2) = √(1 - 3/4) = √1/4 = 1/2.

Таким образом, одно из решений уравнения: x = π/6.

2. cos(x) = -√3/2: Аналогично находим значение sin(x): sin(x) = √(1 - (-√3/2)^2) = √(1 - 3/4) = √1/4 = 1/2.

В этом случае, второе решение уравнения: x = 5π/6.

Итак, решения исходного уравнения: x = π/6 и x = 5π/6.