Question

2sin` x-5sin x+2=0 2cos` 5x-sin 5x cos 5x-sin` 5x=0 вместо черточки это квадрат. Срочно!!!

Answer 1

Для решения уравнений, первое из которых выглядит как:

$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$

А второе уравнение выглядит как:

$2\cos^2 5x - \sin^2 5x + \cos^2 5x - \sin^2 5x = 0$

Мы начнем с первого уравнения:

1. $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$

Чтобы решить это уравнение, давайте представим $\sin x$ как $t$ и перепишем уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена. Мы можем факторизовать его или использовать формулу дискриминанта:

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$

где $a = 2$, $b = -5$, и $c = 2$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Таким образом, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 2$.

Теперь найдем значения $x$ из $t$:

Когда $t = \sin x = \frac{1}{2}$:

$x_1 = \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ где $n$ - целое число.

Когда $t = \sin x = 2$:

Здесь нет решений, так как $\sin x$ ограничен от -1 до 1.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. $2\cos^2 5x - \sin^2 5x + \cos^2 5x - \sin^2 5x = 0$

Объединяем подобные слагаемые:

$2\cos^2 5x - 2\sin^2 5x = 0$

Теперь используем тригонометрический тождество $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$:

$2\cos 2(5x) = 0$

Теперь у нас есть:

$\cos 2(5x) = 0$

Решим это уравнение:

Когда $\cos 2(5x) = 0$:

$2(5x) = \frac{\pi}{2} + \pi n$ или $2(5x) = \frac{3\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число.

Теперь найдем значения $x$:

1. $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{10}$
2. $x = \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi n}{10}$

Пожалуйста, обратите внимание, что уравнения тригонометрии могут иметь бесконечное количество решений, так как функции периодические. Когда решаем тригонометрические уравнения, обычно указывают период и решают в пределах этого периода. В данном случае, я предоставил решения в пределах одного периода, но вы можете расширить их, добавляя к $x$ периоды $2\pi$ (если вам требуется).