Question

Доказать что если каждый из двух чисел есть сумму квадратов двух целых чисел то их произведение также есть суммы двух квадратов​

Answer 1

$a=x^2+y^2,\;b=k^2+l^2\\ ab=(x^2+y^2)(k^2+l^2)=(kx)^2+(lx)^2+(ky)^2+(ly)^2=(kx)^2+2klxy+(ly)^2+(ky)^2-2klxy+(lx)^2=(kx+ly)^2+(ky-lx)^2$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте предположим, что у нас есть два числа, A и B, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, то есть:

A = m^2 + n^2, B = p^2 + q^2,

где m, n, p и q - целые числа.

Теперь докажем, что произведение этих двух чисел, A * B, также является суммой двух квадратов.

A * B = (m^2 + n^2) * (p^2 + q^2)

Раскроем скобки:

A * B = m^2 * p^2 + m^2 * q^2 + n^2 * p^2 + n^2 * q^2

Теперь мы видим, что произведение A * B также является суммой четырех частей:

1. m^2 * p^2 - это квадрат целого числа (m * p)^2.
2. m^2 * q^2 - это квадрат целого числа (m * q)^2.
3. n^2 * p^2 - это квадрат целого числа (n * p)^2.
4. n^2 * q^2 - это квадрат целого числа (n * q)^2.

Таким образом, мы можем выразить A * B как сумму двух квадратов:

A * B = (m * p)^2 + (m * q)^2 + (n * p)^2 + (n * q)^2.

Поскольку каждое из четырех слагаемых является квадратом целого числа, их сумма также является квадратом целого числа. Таким образом, A * B также представляет собой сумму двух квадратов, что и требовалось доказать.