Question

Доведіть що при будь-якому натуральному n значення виразу n^3/6+n^2/2+n/3 є натуральним числом

Answer 1

Пусть n = x, мне просто так удобнее)

$\frac{ {x}^{3} }{6} + \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{x}{3} > 0$

Обе части уравнение умножим на 6:

х³+3х²+2х>0

х(х²+3х+2)>0

х(х+1)(х+2)>0

При любых натуральных значениях х, х(х+1)(х+2) > 0(то есть является натуральным числом)

___________________

2 решение :

Рассмотрим по отдельности каждое слагаемое:

х³/6 > 0 | *6

х³>0

х > 0

То есть х³/6 больше нуля при всех натуральных числах.

____________________________

Если рассмотреть остальные 2 слагаемых, то там будет тоже самое(мне просто лень писать).

____________________________

Если каждое из слагаемых больше нуля, то и сама сумма больше нуля, то есть является натуральным числом)

Answer 2

Давайте спростимо вираз та доведемо його натуральність за допомогою математичної індукції.

Почнемо зі спрощення виразу:

n^3/6 + n^2/2 + n/3

Знайдемо спільний знаменник для всіх дробових доданків, це буде 6:

(6 * n^3)/6 + (3 * n^2)/6 + 2 * n/6

Теперь розглянемо суму у спрощеному виразі:

(6 * n^3 + 3 * n^2 + 2 * n) / 6

Знайдемо залишок цілої частини виразу від ділення на 6:

(6 * n^3 + 3 * n^2 + 2 * n) % 6

Давайте перевіримо, чи цей залишок завжди буде рівний нулю для будь-якого натурального n. Для цього ми використаємо метод математичної індукції.

Крок 1: Базовий крок (n = 1):

Підставимо n = 1 у вираз:

(6 * 1^3 + 3 * 1^2 + 2 * 1) % 6 = (6 + 3 + 2) % 6 = 11 % 6 = 5

Залишок не дорівнює нулю.

Крок 2: Перехід (припущення індукції):

Припустимо, що вираз залишає залишок при діленні на 6 для деякого натурального n (індукційна гіпотеза).

Крок 3: Доведення для n+1:

Розглянемо вираз для n + 1:

(6 * (n+1)^3 + 3 * (n+1)^2 + 2 * (n+1)) % 6

Розкриємо дужки і скористаємося індукційною гіпотезою:

(6 * (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 3 * (n^2 + 2n + 1) + 2n + 2) % 6

(6n^3 + 18n^2 + 18n + 6 + 3n^2 + 6n + 3 + 2n + 2) % 6

(6n^3 + 21n^2 + 26n + 11) % 6

(6n^3 + 3n^2 + 2n) % 6 + (21n^2 + 24n + 11) % 6

За індукційною гіпотезою, перший залишок дорівнює нулю. Для того, щоб другий залишок також дорівнював нулю, необхідно, щоб 21n^2 + 24n + 11 було кратним 6.

Проаналізуємо 21n^2 + 24n + 11 більше детально:

21n^2 + 24n + 11 = 3n^2 + 6n + 2n^2 + 18n + 11

Два перших доданки діляться на 3, а два інші - на 6. Таким чином, сума буде кратною 6.

Отже, за індукційним припущенням, обидва залишки дорівнюватимуть нулю для n + 1.

Отже, ми показали, що якщо вираз має залишок 0 при діленні на 6 для n, то це також справедливо для n + 1. Враховуючи базовий крок (коли n = 1), ми можемо висновувати, що вираз завжди має залишок 0 при діленні на 6 для будь-якого натурального n.

Це означає, що сума n^3/6 + n^2/2 + n/3 є натуральним числом для будь-якого натурального n.