Question

Обчисліть скляний добуток векторів (а+2в)(а-в) якщо |а|=|в|=1​

Answer 1

(а+2в)(а-в)=а²-ав+2ва-2в²=1-2+2*1*1*cosα=-1+cosα, где α- угол между векторами а и в

Answer 2

Скляний добуток векторів визначається як скалярний добуток їх координат. Якщо вектори задані у тривимірному просторі, то скляний добуток векторів $\mathbf{u}$ і $\mathbf{v}$ позначається $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ і обчислюється за формулою:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z$

де $u_x, u_y, u_z$ - координати вектора $\mathbf{u}$, а $v_x, v_y, v_z$ - координати вектора $\mathbf{v}$.

В даному випадку, ви маєте вектори $\mathbf{a}$ і $\mathbf{v}$, а також дано $|\mathbf{a}| = |\mathbf{v}| = 1$. Це означає, що обидва вектори мають одиничну довжину, тобто їх координати в квадраті сумуються до 1. Маємо:

$|\mathbf{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = 1$ $|\mathbf{v}|^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 1$

Записано це рівняння можна використовувати для знаходження координат векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{v}$.

Тепер ми можемо обчислити скляний добуток $(\mathbf{a} + 2\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{v})$. Розкриваємо дужки:

$(\mathbf{a} + 2\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{v}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{a} \cdot (-\mathbf{v}) + 2\mathbf{v} \cdot \mathbf{a} - 2\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$

Тут ми використовуємо комутативність скляного добутку (скалярного добутку) векторів. Також варто зазначити, що добуток вектора на число можна розподілити між координатами вектора.

Підставляючи координати векторів, ми отримаємо:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = 1$ $\mathbf{a} \cdot (-\mathbf{v}) = -a_x \cdot v_x - a_y \cdot v_y - a_z \cdot v_z$ $2\mathbf{v} \cdot \mathbf{a} = 2 \cdot (v_x \cdot a_x + v_y \cdot a_y + v_z \cdot a_z)$ $2\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = 2 \cdot (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = 2$

Підставляючи ці значення в рівняння, ми отримаємо остаточний результат:

$(\mathbf{a} + 2\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{v}) = 1 - (a_x \cdot v_x + a_y \cdot v_y + a_z \cdot v_z) + 2 \cdot (v_x \cdot a_x + v_y \cdot a_y + v_z \cdot a_z) - 2$