Question

Найдите коэффициент при х³ в биномиальное разложении (1-2х)⁴ Помогите пожалуйста!!

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^2+C_4^1\, a^3b+C_4^2\, a^2b^2+C_4^3\, ab^3+b^4\ }\\\\\\(1-2x)^4=(1+(-2x))^4=\, ...\, +C_4^3\, \cdot \, 1\, \cdot \, (-2x)^3\, +\, ...=\, ...+\, \dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{3!}\, \cdot \, (-8x^3)\, +...=\\\\\\=...\, +4\cdot (-8)\cdot x^3\, +\, ...=...\, +(-32)\cdot x^3\, +\, ...$

Коэффициент при  $x^3$   равен  $(-32)$  .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Answer 2

Чтобы найти коэффициент при x³ в биномиальном разложении выражения (1-2x)⁴, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

(1-2x)⁴ = C(4,0)(1)⁴(-2x)⁰ + C(4,1)(1)³(-2x)¹ + C(4,2)(1)²(-2x)² + C(4,3)(1)¹(-2x)³ + C(4,4)(1)⁰(-2x)⁴

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - степень бинома, а k - степень x в каждом члене.

Теперь вычислим каждый член:

C(4,0)(1)⁴(-2x)⁰ = 1 * 1 * 1 = 1 C(4,1)(1)³(-2x)¹ = 4 * 1 * (-2x) = -8x C(4,2)(1)²(-2x)² = 6 * 1 * (4x²) = 24x² C(4,3)(1)¹(-2x)³ = 4 * 1 * (-8x³) = -32x³ C(4,4)(1)⁰(-2x)⁴ = 1 * 1 * 16x⁴ = 16x⁴

Теперь мы можем сложить все эти члены, чтобы найти коэффициент при x³:

1 - 8x + 24x² - 32x³ + 16x⁴

Коэффициент при x³ равен -32.