Question

Исследуйте функцию y=x^2/x^4+1​

Answer 1

Объяснение:

f(-x)=f(x), => функция четная

f(-x)=-f(x), => функция не четная

f(-x)≠f(x), f(-x)≠-f(x), => функция ни четкая, ни нечетная

y= \frac{ x^{2} }{ x^{2} +1}y=x2+1x2

y(-x)= \frac{ (-x)^{2} }{ (-x)^{2} +4} = \frac{ x^{2} }{ x^{2} +4}y(−x)=(−x)2+4(−x)2=x2+4x2

y(-x)=y(x), => функция четная

Answer 2

Давайте проанализируем функцию $y = \frac{x^2}{x^4 + 1}$.

1. Определение области значений: Область значений функции зависит от области определения. В данном случае, функция определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель ($x^4 + 1$) всегда положителен и никогда не равен нулю.

2. Поиск асимптот: Найдем горизонтальные и вертикальные асимптоты. Горизонтальных асимптот нет, так как степень полинома в числителе меньше степени полинома в знаменателе.

   Вертикальные асимптоты: чтобы найти вертикальные асимптоты, мы ищем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^4 + 1 = 0$ Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^4$ всегда неотрицательно, и, следовательно, сумма $x^4 + 1$ всегда положительна. Таким образом, вертикальных асимптот нет.

3. Поиск экстремумов и точек перегиба: Для поиска экстремумов и точек перегиба возьмем производные функции:

   Первая производная: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x^4 + 1}\right)$ Можно воспользоваться правилом дифференцирования частного: $y' = \frac{(x^4 + 1)\cdot2x - x^2\cdot4x^3}{(x^4 + 1)^2}$ $y' = \frac{2x(x^4 + 1) - 4x^3x^2}{(x^4 + 1)^2}$ $y' = \frac{2x(x^4 + 1) - 4x^5}{(x^4 + 1)^2}$

   Вторая производная: $y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x(x^4 + 1) - 4x^5}{(x^4 + 1)^2}\right)$ При вычислении этой производной потребуется применение правила дифференцирования частного и произведения функций.

   Теперь мы можем исследовать график функции, находя экстремумы и точки перегиба, а также анализируя знаки производных в разных интервалах. Для этого потребуется анализ чисел и знаков функции вблизи точек экстремумов и точек перегиба.

4. Нарисовать график: Используя вышеуказанные результаты анализа, вы можете построить график функции $y = \frac{x^2}{x^4 + 1}$, чтобы лучше понять ее поведение в разных интервалах.