Question

4 sin 4x + sin 2x =0 решите методом разложения на множители ​

Answer 1

$4\sin (4x)+\sin(2x)=0\\4\cdot 2\sin (2x)\cos(2x)+\sin(2x)=0\\8\sin (2x)\cos(2x)+\sin(2x)=0\\\sin (2x)\cdot \Big(8\cos(2x)+1\Big)=0\\\\\displaystyle\left [ {{\sin (2x)=0} \atop {8\cos(2x)+1=0}} \right. \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left [ {{\sin (2x)=0} \atop {\cos(2x)=-\dfrac 18}} \right.$

$\displaystyle\left [ {{2x=\pi\cdot n,\ n\in\mathbb Z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \atop {2x=\pm \textrm{arccos} \bigg(-\dfrac 18\bigg)+2\pi k,\ k\in\mathbb Z}} \right. \\\\\\\left [ {{x=0{,}5\pi n,\ n\in\mathbb Z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \atop {x=\pm 0,5\,\textrm{arccos} \big(-0{,}125\big)+\pi k,\ k\in\mathbb Z}} \right.$

Ответ:   0,5πn;   ±0,5arccos(-0,125)+πk;   n,k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения $4\sin(4x) + \sin(2x) = 0$ методом разложения на множители давайте сначала попробуем упростить его.

Заметим, что $\sin(4x)$ можно представить в виде $\sin(2x + 2x)$, а также что $\sin(2x)$ можно представить как $\sin(2x)$. Теперь мы можем использовать формулу сложения для синуса:

$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$.

Применим эту формулу:

$4\sin(4x) = 4(\sin(2x + 2x)) = 4(\sin(2x)\cos(2x) + \cos(2x)\sin(2x)) = 4(2\sin(2x)\cos(2x)) = 8\sin(2x)\cos(2x)$.

Теперь у нас есть:

$8\sin(2x)\cos(2x) + \sin(2x) = 0$.

Теперь вынесем $\sin(2x)$ как общий множитель:

$\sin(2x)(8\cos(2x) + 1) = 0$.

Теперь у нас есть уравнение с двумя множителями, и мы можем найти решения, уравнивая каждый множитель нулю:

1. $\sin(2x) = 0$.

Для этого уравнения у нас есть одно решение:

$\sin(2x) = 0$

$2x = \arcsin(0)$

$2x = 0$

$x = 0$.

2. $8\cos(2x) + 1 = 0$.

Для этого уравнения найдем $\cos(2x)$:

$8\cos(2x) = -1$

$\cos(2x) = -\frac{1}{8}$.

Теперь найдем $2x$:

$2x = \arccos\left(-\frac{1}{8}\right)$

$2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (для целых $n$).

Теперь мы можем найти значения $x$:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Итак, у нас есть два набора решений:

1. $x = 0$.
2. $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$ (для целых $n$).