Question

Докажите, что если сумма квадратоа двух целых чисел делится на 7, то эта сумма делиться на 49​

Answer 1

дано a²+b² кратно 7

докажем что а кратно 7 и b кратно 7

Пусть эти числа не делятся на 7

тогда число а можно представить как

a=7n+1 или а=7n+2 или a=7n+3 или .... или a=7n+6

если возвести число а в квадрат то получим

a²=49n²+14n+1 или a²=49n²+24n+4 или .... a²=49n²+84n+36

аналогично для числа b

если сложить квадраты наших чисел то остатки будут получатся

например: (7n+1)²+(7n+1)²=2*(49n²+14n+1)=2*49n²+2*14n+2

остаток 2 которые не кратен 7, а значит сумма квадратов не будет делится на 7

если проверить все остатки, то мы убедимся что сумма квадратов чисел не кратных 7 не будет кратна 7, а значит наше предположение неверно

ТОГДА а кратно 7 и записать можно а=7n

             b кратно 7 и записать можно b=7m

и теперь найдем сумму их квадратов

(7n)²+(7m)²=49n²+49m²=49(m+n)

и полученная сумма кратна 49

доказано.

Answer 2

Давайте рассмотрим два целых числа, обозначим их как $a$ и $b$. Из условия нам известно, что:

$a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{7}$

Мы хотим доказать, что:

$a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{49}$

Мы знаем, что $49 = 7^2$. Если мы разделим обе части на $7$, получим:

$\frac{a^2 + b^2}{7} \equiv 0 \pmod{7}$

Теперь нам нужно показать, что $\frac{a^2 + b^2}{7}$ делится на 7.

Посмотрим на $a^2 + b^2$. Если мы заметим, что $a^2$ и $b^2$ могут быть представлены как $7k$ и $7m$ соответственно (где $k$ и $m$ - некоторые целые числа), то:

$a^2 + b^2 = 7k + 7m = 7(k + m)$

Это дает нам деление на 7, значит:

$\frac{a^2 + b^2}{7}$

делится на 7.

Таким образом, мы показали, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 7, то она также делится на 49.