Question

Помогите решить неравенства с подробным решением. a)5x²+2x-24<0; в)-x²-6x+7≥0; б)6x²+5x-14≥0; г)-9x²-8x+1<0;

Answer 1

Ответ:

Ответ смотри во вложении

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по отдельности и найдем их решения.

a) 5x² + 2x - 24 < 0:

Для начала, найдем корни уравнения 5x² + 2x - 24 = 0. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac,

где a = 5, b = 2 и c = -24.

D = (2)² - 4 * 5 * (-24) = 4 + 480 = 484.

Теперь найдем корни уравнения:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √484) / (2 * 5) = (-2 + 22) / 10 = 20 / 10 = 2.

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √484) / (2 * 5) = (-2 - 22) / 10 = -24 / 10 = -2.4.

Теперь у нас есть корни уравнения: x₁ = 2 и x₂ = -2.4.

Теперь мы можем построить знаки многочлена 5x² + 2x - 24 на числовой прямой. Для этого выберем тестовые точки в каждом из трех интервалов: (-бесконечность, -2.4), (-2.4, 2), (2, +бесконечность).

Интервал (-бесконечность, -2.4): Выберем x = -3. Подставляем в многочлен:

5(-3)² + 2(-3) - 24 = 45 - 6 - 24 = 15.

Знак положительный.

Интервал (-2.4, 2): Выберем x = 0. Подставляем в многочлен:

5(0)² + 2(0) - 24 = -24.

Знак отрицательный.

Интервал (2, +бесконечность): Выберем x = 3. Подставляем в многочлен:

5(3)² + 2(3) - 24 = 45 + 6 - 24 = 27.

Знак положительный.

Таким образом, знаки многочлена на интервалах следующие: (-бесконечность, -2.4) положительный, (-2.4, 2) отрицательный, (2, +бесконечность) положительный.

Теперь рассмотрим неравенство 5x² + 2x - 24 < 0. Нас интересуют интервалы, где многочлен отрицателен. Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-2.4, 2).

Ответ: x принадлежит интервалу (-2.4, 2).

б) 6x² + 5x - 14 ≥ 0:

Для начала, найдем корни уравнения 6x² + 5x - 14 = 0. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac,

где a = 6, b = 5 и c = -14.

D = (5)² - 4 * 6 * (-14) = 25 + 336 = 361.

Теперь найдем корни уравнения:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + √361) / (2 * 6) = (-5 + 19) / 12 = 14 / 12 = 7/6.

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - √361) / (2 * 6) = (-5 - 19) / 12 = -24 / 12 = -2.

Теперь у нас есть корни уравнения: x₁ = 7/6 и x₂ = -2.

Теперь мы можем построить знаки многочлена 6x² + 5x - 14 на числовой прямой, используя найденные корни и тестовые точки в каждом из интервалов: (-бесконечность, -2), (-2, 7/6), (7/6, +бесконечность).

Интервал (-бесконечность, -2): Выберем x = -3. Подставляем в многочлен:

6(-3)² + 5(-3) - 14 = 54 - 15 - 14 = 25.

Знак положительный.

Интервал (-2, 7/6): Выберем x = 0. Подставляем в многочлен:

6(0)² + 5(0) - 14 = -14.

Знак отрицательный.

Интервал (7/6, +бесконечность): Выберем x = 2. Подставляем в многочлен:

6(2)² + 5(2) - 14 = 24 + 10 - 14 = 20.

Знак положительный.

Таким образом, знаки многочлена на интервалах следующие: (-бесконечность, -2) положительный, (-2, 7/6) отрицательный, (7/6, +бесконечность) положительный.

Теперь рассмотрим неравенство 6x² + 5x - 14 ≥ 0. Нас интересуют интервалы, где многочлен положителен или равен нулю. Таким образом, решением данного неравенства являются интервалы (-бесконечность, -2] и [7/6, +бесконечность).

Ответ: x принадлежит интервалам (-бесконечность, -2] и [7/6, +бесконечность).

г) -9x² - 8x + 1 < 0:

Для начала, найдем корни уравнения -9x² - 8x + 1 = 0. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac,

где a = -9, b = -8 и c = 1.

D = (-8)² - 4 * (-9) * 1 = 64 + 36 = 100.

Теперь найдем корни уравнения:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (8 + √100) / (2 * (-9)) = (8 + 10) / (-18) = 18 / (-18) = -1.

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (8 - √100) / (2 * (-9)) = (8 - 10) / (-18) = -2 / (-18) = 1/9.

Теперь у нас есть корни уравнения: x₁ = -1 и x₂ = 1/9.

Теперь мы можем построить знаки многочлена -9x² - 8x + 1 на числовой прямой, используя найденные корни и тестовые точки в каждом из интервалов: (-бесконечность, -1), (-1, 1/9), (1/9, +бесконечность).

Интервал (-бесконечность, -1): Выберем x = -2. Подставляем в многочлен:

-9(-2)² - 8(-2) + 1 = -36 + 16 + 1 = -19.

Знак отрицательный.

Интервал (-1, 1/9): Выберем x = 0. Подставляем в многочлен:

-9(0)² - 8(0) + 1 = 1.

Знак положительный.

Интервал (1/9, +бесконечность): Выберем x = 2. Подставляем в многочлен:

-9(2)² - 8(2) + 1 = -36 - 16 + 1 = -51.

Знак отрицательный.

Таким образом, знаки многочлена на интервалах следующие: (-бесконечность, -1) отрицательный, (-1, 1/9) положительный, (1/9, +бесконечность) отрицательный.

Теперь рассмотрим неравенство -9x² - 8x + 1 < 0. Нас интересуют интервалы, где многочлен отрицателен. Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-1, 1/9).

Ответ: x принадлежит интервалу (-1, 1/9).