Question

СРОЧНО Докажите, что что если a ≥ 0, b≥ 0, то a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2

Answer 1

$a^3 + b^3\geq a^2b + ab^2$

$a^3-a^2b-ab^2 + b^3\geq 0$

$a^2(a-b)-b^2(a- b)\geq 0$

$(a-b)(a^2-b^2)\geq 0$

$(a-b)(a-b)(a+b)\geq 0$

$(a-b)^2(a+b)\geq 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Первая скобка неотрицательна, так как квадрат любого числа неотрицателен. Вторая скобка неотрицательна, так как по условию неотрицательны значения a и b, а значит неотрицательна и их сумма. Значит, произведение двух скобок неотрицательно. Доказано.

Answer 2

Давайте докажем это неравенство:

Нам дано, что a ≥ 0 и b ≥ 0. Мы хотим доказать, что a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2.

Мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM неравенство), которое гласит:

Для любых неотрицательных чисел x и y: x^2 + y^2 ≥ 2xy

Теперь мы можем применить это неравенство к парам чисел (a^2, b^2) и (ab, ab):

a^4 + b^4 ≥ 2a^2b^2 (применяем AM-GM к парам a^2 и b^2) 2a^2b^2 + 2a^2b^2 ≥ 2a^2b^2 (применяем AM-GM к парам ab и ab)

Теперь давайте сложим оба неравенства:

a^4 + b^4 + 2a^2b^2 ≥ 2a^2b^2 + 2a^2b^2

a^4 + b^4 + 2a^2b^2 ≥ 4a^2b^2

Теперь возведем обе стороны неравенства в куб:

(a^4 + b^4 + 2a^2b^2)^3 ≥ (4a^2b^2)^3

a^12 + b^12 + 2a^6b^6 + 6a^8b^4 + 6a^4b^8 + 12a^4b^4a^4b^4 ≥ 64a^6b^6

Теперь разделим обе стороны на 8:

(a^12 + b^12 + 2a^6b^6 + 6a^8b^4 + 6a^4b^8 + 12a^4b^4a^4b^4)/8 ≥ (64a^6b^6)/8

(a^12 + b^12 + a^6b^6 + 3a^8b^4 + 3a^4b^8 + 6a^8b^4a^4b^4)/8 ≥ 8a^6b^6

Теперь давайте рассмотрим выражение a^12 + b^12. Мы можем записать его как (a^6)^2 + (b^6)^2. И снова воспользуемся AM-GM неравенством:

(a^6)^2 + (b^6)^2 ≥ 2(a^6)(b^6)

Теперь подставим это в наше неравенство:

(2(a^6)(b^6) + a^6b^6 + 3a^8b^4 + 3a^4b^8 + 6a^8b^4a^4b^4)/8 ≥ 8a^6b^6

Теперь сократим обе стороны на a^6b^6:

(2 + 1 + 3(a^2)^2b^4 + 3a^4(b^2)^2 + 6a^4b^4) / 8 ≥ 8

(2 + 1 + 3(a^2)^2b^4 + 3a^4(b^2)^2 + 6a^4b^4) / 8 ≥ 8

Теперь упростим числитель:

2 + 1 + 3(a^2)^2b^4 + 3a^4(b^2)^2 + 6a^4b^4 = 3 + 3(a^4b^4) + 3(a^4b^4) + 6(a^4b^4)

= 3(1 + a^4b^4 + a^4b^4 + 2a^4b^4)

= 3(1 + 4a^4b^4)

Теперь подставим это обратно в неравенство:

(3(1 + 4a^4b^4)) / 8 ≥ 8

Упростим числитель:

(3 + 12a^4b^4) / 8 ≥ 8

Теперь умножим обе стороны на 8:

3 + 12a^4b^4 ≥ 64

12a^4b^4 ≥ 64 - 3

12a^4b^4 ≥ 61

Теперь делим обе стороны на 12:

a^4b^4 ≥ 61/12

Теперь возведем обе стороны в 1/4 степень, чтобы получить a^2b^2:

(a^4b^4)^(1/4) ≥ (61/12)^(1/4)

a^2b^2 ≥ (61/12)^(1/4)

Таким образом, мы доказали, что a^2b^2 ≥ (61/12)^(1/4). Теперь вернемся к исходному неравенству:

a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2

Мы видим, что a^3 + b^3 содержит a^2b и ab^2 в сумме, и теперь мы знаем, что a^2b^2 ≥ (61/12)^(1/4), поэтому:

a^2b + ab^2 ≤ a^2b^2 + a^2b^2 = 2a^2b^2

Теперь у нас есть:

a^3 + b^3 ≥ 2a^2b^2

Итак, мы доказали, что если a ≥ 0 и b ≥ 0, то a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2.