Question

Исследуйте функции на экстремумы: y=x^2 (4 - (8/3) x)

Answer 1

• Ответ:только так смогла решить вроде верно

Объяснение:

Answer 2

Для исследования функции y = x^2 (4 - (8/3) x) на экстремумы, мы должны найти её производные и найти точки, где производные равны нулю или не существуют. Затем мы можем использовать тест на вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки локальными максимумами, минимумами или седловыми точками.

Шаг 1: Найдем производные функции y по x.

y = x^2 (4 - (8/3) x)

Первая производная (применение правила произведения):

y' = 2x(4 - (8/3)x) + x^2*(-8/3)

Упростим это уравнение:

y' = 8x - (16/3)x^2 - (8/3)x^2

y' = 8x - (32/3)x^2

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю:

8x - (32/3)x^2 = 0

Для нахождения решений этого уравнения, мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

24x - 32x^2 = 0

Раскроем скобки:

-32x^2 + 24x = 0

Упростим:

-8x(4x - 3) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения x:

1. -8x = 0 => x = 0
2. 4x - 3 = 0 => 4x = 3 => x = 3/4

Это две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = 3/4.

Шаг 3: Используем тест на вторую производную, чтобы определить характер экстремумов.

Для этого найдем вторую производную:

y'' = 8 - 64x

Теперь подставим найденные значения x (x = 0 и x = 3/4) во вторую производную:

1. x = 0: y''(0) = 8 - 64(0) = 8

2. x = 3/4: y''(3/4) = 8 - 64(3/4) = 8 - 48 = -40

Теперь определим характер экстремумов:

1. Для x = 0, y''(0) = 8 > 0, что означает, что у нас есть локальный минимум в точке (0, 0).

2. Для x = 3/4, y''(3/4) = -40 < 0, что означает, что у нас есть локальный максимум в точке (3/4, 27/16).

Итак, функция y = x^2 (4 - (8/3) x) имеет локальный минимум в точке (0, 0) и локальный максимум в точке (3/4, 27/16).