Question

Докажите, что если x>0, y>0, то

Answer 1

Заметим, что при указанных условиях функция F(a) = $(\frac{x^{a} + y^{a} }{2})^{1/a}$является непрерывной и дифференцируемой. Тогда ∧ = $\lim_{a \to \ 0} F(a)$ =

exp(ln[$\lim_{a \to \ 0} F(a)$]) = exp(lim(a→0)ln[$( \frac{x^{a} + y^{a} }{2})^{1/a}$]) = exp(lim(a→0) $\frac{1}{a}$· ln[ $\frac{x^{a} + y^{a} }{2}$ ]). При a→0 возникла неопределенность вида ноль на ноль:

ln[(x⁰ + y⁰)/2]/0 = ln1/0 = 0/0 ⇒ дифференцируем по правилу Лопиталя числитель и знаменатель дроби $\frac{ ln\frac{x^{a} + y^{a} }{2} }{a}$ по переменной а;

da/da = 1, d(ln(xᵃ + yᵃ):2)/da = $\frac{2}{x^{a} + y^{a} }$ · $\frac{x^{a}lnx + y^{a}lny }{2}$ = $\frac{x^{a}lnx + y^{a}lny }{x^{a} + y^{a} }$ ⇒

∧ = exp(lim(a→0)[ $\frac{x^{a}lnx + y^{a}lny }{x^{a} + y^{a} }$ ]) = (подставляем а = 0, ибо неопределенность исчезла) = exp( $\frac{lnx + lny}{2}$ ) = exp(0,5·ln(xy)) = exp(ln$\sqrt{xy}$) = $\sqrt{xy}$

Answer 2

Извините, ваш запрос обрезан. Пожалуйста, предоставьте полное утверждение или вопрос, чтобы я мог помочь вам.