Question

В правильной треугольной пирамиде DABC всё рёбра равны. Найдите радиус окружности, описанной около основания пирамиды, если площадь её полной поверхности равна 9√3 см²

Answer 1

Ответ:

1

Дано: SABCD - правильная пирамида,

a = 12 см - сторона основания

d = 10 см - боковое ребро

Найти: h, Sбок, S пов, V

Решение:

Половина диагонали квадрата в основании m = a√2/2 = 12√2/2 = 6√2 (см)

По теореме Пифагора, высота

h = sqrt(d^2-m^2) = sqrt(10^2-( 6√2)^2) = sqrt (100-72) = sqrt(28)= 2√7 (см)

По теореме Пифагора, апофема

p = sqrt(h^2 + (a/2)^2) = sqrt(28+36) = sqrt(64) = 8 (см)

Площадь боковой грани Sгр = a*p/2 = 12*8/2 = 48 (см²)

Площадь боковой поверхности Sбок = 4*Sгр = 4*48 = 192 (см²)

Площадь полной поверхности Sпов = Sбок + a^2 = 192+144 = 336 (см²)

Объем V = a^2*h/3 = 144*2√7/3 = 96√7 (см³)

Ответ:

2√7 см; 192 см²; 336 см²; 96√7 см³

-------------------------------------------------------------------------------------------

2

Дано: ABCA1B1C1 - правильная усеченная пирамида

a = 8 м - сторона нижнего основания

b = 5 м - сторона верхнего основания

h = 3 м - высота

Найти: V

Решение:

Пусть SABC - соответствующая неусеченная пирамида, H - ее высота.

Пирамиды SABC и SA1B1C1 подобны

a/b = H/(H-h)

a*(H-h) = b*H

H(a-b) = ah

H = ah/(a-b) = 8*3/(8-5) = 8 (м)

Искомый объем

V = ((a^2*H) - (b^2*(H-h)))/3 = (64*8-25*5)/3 = 129 (м³)

Ответ: 129 м³

------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

Дано: DABC - пирамида, ΔABC - прямоугольный, угол С = 90°, a = 8 см, b = 6 см - катеты

боковые грани равнонаклонены

h = 3√5 см

Найти: Sпов

Решение:

Т.к. боковые грани равнонаклонены, высота проецируется на основание в центр вписанной в ΔABC окружности.

Гипотенуза ΔABC c = sqrt(a^2+b^2) = 10 см

Площадь ΔABC Sосн = ab/2 = 8*6/2 = 24 см²

Периметр ΔABC P = 8+6+10 = 24 см²

Радиус вписанной окружности r = 2S/P = 2*24/24 = 2 см

Апофема m = sqrt(h^2+r^2) = sqrt(9*5+4) = sqrt(49) = 7 см

Площадь боковой поверхности Sбок = (a+b+c) *m/2 = P*m/2 = 24*7/2 = 84 см²

Площадь полной поверхности Sпов = Sбок + Sосн = 84+24 = 108 см²

Ответ: 108 см²

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для площади полной поверхности пирамиды и связать ее с радиусом описанной окружности основания пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S = S_основания + S_боковых_сторон,

где S_основания - площадь основания пирамиды, S_боковых_сторон - сумма площадей боковых сторон пирамиды.

В данной задаче у нас треугольная пирамида, поэтому площадь основания пирамиды равна площади треугольника DABC.

Найдем сначала площадь треугольника DABC. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:

S_треугольника = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где a, b, c - длины сторон треугольника DABC, p - полупериметр треугольника, вычисляется как p = (a + b + c) / 2.

В нашем случае все ребра пирамиды равны, поэтому a = b = c.

Таким образом, p = (a + a + a) / 2 = 3a / 2.

Подставляя значения в формулу площади треугольника, получаем:

S_треугольника = √(3a/2 * (3a/2 - a) * (3a/2 - a) * (3a/2 - a)) = √(3a/2 * a/2 * a/2 * a/2) = √(3a^4/16) = a^2√3/4.

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды:

S = S_основания + S_боковых_сторон = S_треугольника + 3 * S_треугольника = 4 * S_треугольника = 4 * (a^2√3/4) = a^2√3.

Из условия задачи известно, что S = 9√3 см². Подставляя это значение, получаем:

a^2√3 = 9√3.

Сокращая √3 с обеих сторон, получаем:

a^2 = 9.

Таким образом, a = 3.

Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной около основания пирамиды. Радиус описанной окружности для треугольника равен половине длины стороны треугольника, то есть r = a/2.

Подставляя значение a = 3, получаем:

r = 3/2 = 1.5 см.

Таким образом, радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 1.5 см.