Question

Тройки чисел Известно, что если перемножить три последовательных двузначных натуральных числа, то получится шестизначное число, состоящее из двух подряд выписанных одинаковых трёхзначных чисел. Чему могут быть равны эти двузначные числа? В ответе укажите наименьшее из чисел. Если таких троек несколько, то впишите сумму меньших чисел из каждой тройки.​

Answer 1

Ответ:

var n: integer; m: longint;

begin for n := 11 to 98 do

begin m := n * (n * n - 1);

if (m div 1000) = (m mod 1000)

then writeln(n - 1, ' ', n, ' ', n + 1, ' » ', m)

end end.

А числа такие:

76 77 78 » 456456

77 78 79 » 474474

Объяснение:

Answer 2

Пусть тройки чисел записываются в виде ABC, где A, B и C - двузначные числа.

Таким образом, мы имеем следующее равенство: ABC * (ABC + 1) * (ABC + 2) = AABBCCEE

Разложим левую часть на множители: ABC * (ABC + 1) * (ABC + 2) = ABC * (ABC^2 + 3ABC + 2)

Заметим, что ABC и числа (ABC^2 + 3ABC + 2) имеют общий делитель ABC.

Тогда можно записать: ABC * (ABC^2 + 3ABC + 2) = (ABC * K) * N = AABBCCEE

Где K и N - некоторые натуральные числа.

Таким образом, ABC делится на A, B и C.

Рассмотрим случай, когда ABC делится на A.

Поскольку ABC - двузначное число, то ABC = A * M, где M - некоторое натуральное число.

Значит, (A * M) * (A * M^2 + 3A * M + 2) = (A * M) * N = AABBCCEE

Сократим обе части равенства на A: M * (A * M^2 + 3A * M + 2) = M * N = AABBCC

Теперь рассмотрим случай, когда ABC делится на B и C (а значит ABC делится на 10).

Поскольку ABC - двузначное число, то ABC = 10 * M, где M - некоторое натуральное число.

Значит, (10 * M) * (100 * M^2 + 30 * M + 2) = (10 * M) * N = AABBCCEE

Сократим обе части равенства на 10: M * (100 * M^2 + 30 * M + 2) = M * N = AABBCC

Поскольку последние два члена равенства AABBCC имеют одинаковые разряды, то их сумма должна быть четной.

Тогда последний член AABBCC может быть равен только 0, 2, 4, 6 или 8. Исключая 0 (так как ABC > 0), получаем возможные значения: 2, 4, 6, 8.

Подставим значения последнего члена в равенства и решим систему уравнений:

M * (A * M^2 + 3A * M + 2) = 2 M * (A * M^2 + 3A * M + 2) = 4 M * (A * M^2 + 3A * M + 2) = 6 M * (A * M^2 + 3A * M + 2) = 8

Решая каждое уравнение, получаем следующие значения ABC:

(7, 8, 9) - для AABBCCEE = 2 (8, 9, 10) - для AABBCCEE = 4 (9, 10, 11) - для AABBCCEE = 6 (10, 11, 12) - для AABBCCEE = 8

Наименьшее из этих чисел - 7.

Таким образом, наименьшие возможные значения двузначных чисел A, B и C равны 7, 8 и 9 соответственно.