Question

Решите неравенство: 1) (x - 1)(x - 6) < 50; . 2) (x - 14)(x - 2) > 64.​

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Решите неравенство:

1) (x - 1)(x - 6) < 50;

Раскрыть скобки:

х² - 6х - х + 6 - 50 < 0

x² - 7x - 44 < 0

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

x² - 7x - 44 = 0

D=b²-4ac = 49 + 176 = 225        √D=15

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(7-15)/2

х₁= -8/2

х₁= -4;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(7+15)/2

х₂=22/2

х₂= 11;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х = -4 и х = 11.

Значения функции < 0 (как в неравенстве) являются решениями неравенства.

Решения неравенства: х∈(-4; 11).

Неравенство строгое, скобки круглые.

2) (x - 14)(x - 2) > 64;

Раскрыть скобки:

х² - 2х - 14х + 28 > 64

х² - 16х + 28 - 64 > 0

х² - 16х - 36 > 0

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² - 16х - 36 = 0

D=b²-4ac = 256 + 144 = 400        √D=20

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(16-20)/2

х₁= -4/2

х₁= -2;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(16+20)/2

х₂=36/2

х₂= 18;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х = -2 и х = 18.

Значения функции > 0 (как в неравенстве) являются решениями неравенства.

Решения неравенства: х∈(-∞; -2)∪(18; +∞).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство поочередно.

1. \( (1 + (x - 1)(x - 6)) < 50 \)

Раскроем скобки:

\[ 1 + x^2 - 7x + 6 < 50 \]

Соберем все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 7x - 43 < 0 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x - 43 = 0 \). Мы можем использовать формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) и формулы для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

В данном случае, у нас есть \( a = 1 \), \( b = -7 \) и \( c = -43 \). Вычислим дискриминант:

\[ D = (-7)^2 - 4(1)(-43) = 49 + 172 = 221 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Решение неравенства будет в интервале между этими корнями. Найдем корни:

\[ x = \frac{7 + \sqrt{221}}{2} \approx 9.69 \]

\[ x = \frac{7 - \sqrt{221}}{2} \approx -2.69 \]

Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 7x - 43 < 0 \) это \( -2.69 < x < 9.69 \).

2. \( (2 + (x - 14)(x - 2)) > 64 \)

Раскроем скобки:

\[ 2 + x^2 - 16x + 28 > 64 \]

Соберем все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 16x + 30 > 62 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 16x + 30 = 0 \). У нас есть \( a = 1 \), \( b = -16 \) и \( c = 30 \). Вычислим дискриминант:

\[ D = (-16)^2 - 4(1)(30) = 256 - 120 = 136 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Найдем корни:

\[ x = \frac{16 + \sqrt{136}}{2} \approx 14 + 2\sqrt{34} \]

\[ x = \frac{16 - \sqrt{136}}{2} \approx 14 - 2\sqrt{34} \]

Теперь рассмотрим интервалы, образованные корнями. Учитывая, что у коэффициента при \( x^2 \) положительное значение, у нас будет два интервала:

\[ x < 14 - 2\sqrt{34} \]

и

\[ x > 14 + 2\sqrt{34} \]

Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 16x + 30 > 62 \) это \( x < 14 - 2\sqrt{34} \) или \( x > 14 + 2\sqrt{34} \).

Итак, решение системы неравенств:

\[ -2.69 < x < 9.69 \]

или

\[ x < 14 - 2\sqrt{34} \]

или

\[ x > 14 + 2\sqrt{34} \]