Question

Решите пожалуйста, алгебра. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию y=x^2 ln xНапишите если можете на листочке ​

Answer 1

Ответ:

$y=x^2\, lnx\ \ ,\ \ \ \ \ ODZ:\ x>0\ ,\\\\y'=2x\cdot lnx+x^2\cdot \dfrac{1}{x}=x\cdot (2\, lnx+1)=0\ \ \to \ \ \ x_1=0\ ,\\\\lnx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ (0)---(\dfrac{1}{\sqrt{e}})+++\\{}\qquad \qquad \ \ \qquad \qquad \searrow \ \ \qquad \quad \ \ \nearrow \\\\x_{min}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \ \ ,\ \ \ y_{min}=-\dfrac{1}{2e}$

$y(x)\ ybuvaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big(\ 0;\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \Big]\\\\y(x)\ vozrastaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big[\, \dfrac{1}{\sqrt{e}}\ ;\ +\infty \, \Big)$

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу.

У вас есть функция \(y = x^2 + \ln x\), и мы хотим исследовать её на возрастание, убывание и найти экстремумы.

1. Найдем производную функции: \[y' = 2x + \frac{1}{x}.\]

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: \[2x + \frac{1}{x} = 0.\] Умножим обе стороны на \(x\), получаем: \[2x^2 + 1 = 0.\] Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Таким образом, у нас нет критических точек, где производная равна нулю.

3. Исследуем знак производной на интервалах между критическими точками (если они есть) и на краях области определения функции.

А. Рассмотрим интервал \(x < 0\). Выберем, например, \(x = -1\): \[2(-1) + \frac{1}{-1} = -2 - 1 < 0.\] Таким образом, на интервале \((- \infty, 0)\) производная отрицательна, и функция убывает.

Б. Теперь рассмотрим интервал \(0 < x < +\infty\). Выберем, например, \(x = 1\): \[2(1) + \frac{1}{1} = 2 + 1 > 0.\] Таким образом, на интервале \((0, +\infty)\) производная положительна, и функция возрастает.

4. Найдем точки, в которых производная не существует: Производная не существует при \(x = 0\), но этот случай мы уже рассмотрели при исследовании интервала \((- \infty, 0)\).

5. Итак, мы имеем: - Функция убывает на интервале \((- \infty, 0)\). - Функция возрастает на интервале \((0, +\infty)\).

Теперь найдем экстремумы. Так как у нас нет точек, где производная равна нулю, функция \(y = x^2 + \ln x\) не имеет точек локального минимума или максимума.

Итак, кратко:

- Функция убывает на \((- \infty, 0)\). - Функция возрастает на \((0, +\infty)\). - Экстремумов нет.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.