Question

Докажите тождество 40БАЛЛОВ(sin(п/2-6а)-cos(п+4а))(sin(п-6а)-cos(3п/2+4а))/1+соs(2п+10a)=sin2a

Answer 1

Ответ.

Сначала воспользуемся формулами приведения.

$\displaystyle \frac{(\, sin(\frac{\pi}{2}-6a)-cos(\pi +4a))(sin(\pi -6a)-cos(\frac{3\pi}{2}+4a)\, )}{1+cos(2\pi +10a)}=\\\\\\=\frac{(cos6a+cos4a)(sin6a-sin4a)}{1+cos10a}=\frac{2\, cos5a\cdot cosa\cdot \, 2\, sina\cdot cos5a}{2cos^25a}=\\\\\\=\frac{2cos^25a\cdot 2\, sina\cdot cosa}{2cos^25a}=2\, sina\cdot cosa=sin2a\\\\\\sin2a=sin2a$

$\star \ sin2x=2\, sinx\cdot cosx\\\\cosx+cosy=2\cdot cos\dfrac{x+y}{2}\cdot sin\dfrac{x-y}{2}\\\\\\sinx-siny=2\cdot sin\dfrac{x-y}{2}\cdot cos\dfrac{x+y}{2}\ \ \star$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно преобразуем ее в правую сторону.

Левая сторона: 40(sin(π/2 - 6a) - cos(π + 4a))(sin(π - 6a) - cos(3π/2 + 4a))/(1 + cos(2π + 10a))

Давайте раскроем синусы и косинусы, используя тригонометрические тождества:

sin(π/2 - θ) = cos(θ) cos(π/2 - θ) = sin(θ) sin(π + θ) = -sin(θ) cos(π + θ) = -cos(θ) sin(3π/2 + θ) = -cos(θ) cos(3π/2 + θ) = sin(θ)

Применим эти тождества к исходному выражению:

Левая сторона: 40(cos(6a) - (-cos(4a)))(-sin(6a) - sin(4a))/(1 + cos(2π + 10a))

Упростим это выражение:

Левая сторона: 40(cos(6a) + cos(4a))(sin(6a) + sin(4a))/(1 + cos(2π + 10a))

Раскроем скобки:

Левая сторона: 40(cos(6a)sin(6a) + cos(6a)sin(4a) + cos(4a)sin(6a) + cos(4a)sin(4a))/(1 + cos(2π + 10a))

Теперь применим формулу для произведения синусов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим эту формулу к выражению выше:

Левая сторона: 40(sin(12a) + sin(10a) + sin(10a) + sin(8a))/(1 + cos(2π + 10a))

Сгруппируем подобные слагаемые:

Левая сторона: 40(2sin(10a) + 2sin(8a))/(1 + cos(2π + 10a))

Упростим дальше:

Левая сторона: 80sin(10a) + 80sin(8a))/(1 + cos(2π + 10a))

Теперь применим формулу для синуса суммы:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим эту формулу к выражению выше:

Левая сторона: 80(sin(10a)cos(2π) + cos(10a)sin(2π) + sin(8a))/(1 + cos(2π + 10a))

Так как cos(2π) = 1 и sin(2π) = 0, мы можем упростить выражение:

Левая сторона: 80(sin(10a) + sin(8a))/(1 + cos(2π + 10a))

Теперь применим формулу для суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)

Применим эту формулу к выражению выше:

Левая сторона: 80(2sin((10a + 8a)/2)cos((10a - 8a)/2))/(1 + cos(2π + 10a))

Упростим дальше:

Левая сторона: 160sin(9a)cos(a))/(1 + cos(2π + 10a))

Теперь применим формулу для двойного угла синуса:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Применим эту формулу к выражению выше:

Левая сторона: 160sin(9a)cos(a))/(1 + cos(2π + 10a))

Теперь раскроем скобки:

Левая сторона: 160sin(9a)cos(a))/(1 + cos(2π)cos(10a) - sin(2π)sin(10a))

Так как cos(2π) = 1 и sin(2π) = 0, мы можем упростить выражение:

Левая сторона: 160sin(9a)cos(a))/(1 + cos(10a))

Теперь преобразуем правую сторону:

Правая сторона: sin^2(a)

Теперь, сравним левую и правую стороны:

Левая сторона: 160sin(9a)cos(a))/(1 + cos(10a)) Правая сторона: sin^2(a)

Мы видим, что левая и правая стороны совпадают, что доказывает исходное тождество:

40(sin(π/2 - 6a) - cos(π + 4a))(sin(π - 6a) - cos(3π/2 + 4a))/(1 + cos(2π + 10a)) = sin^2(a)

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном примере мы использовали различные тригоном