Question

Решить уравнение: sin^2 2x-cos 2x-1=0

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \: n}{2} \\ x_{2} = \pi \: n$

n€Z

Объяснение:

${sin}^{2} 2x - cos2x - 1 = 0$

основное тригонометрическое тождество:

${sin}^{2} \alpha + {cos}^{2} \alpha = 1 \\ {sin}^{2} \alpha = 1 - {cos}^{2} \alpha$

$(1 - {cos}^{2}2x) - cos2x - 1 = 0 \\ - {cos}^{2} 2x - cos2x = 0 \\ - cos2x \times (cos2x + 1) = 0 \\ - cos2x = 0 \: \: ili \: \: cos2x + 1 = 0$

простейшие тригонометрические уравнения

$cos2x = 0 \\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi \: n$

n €Z

$x = ( \frac{\pi}{2} + \pi \: n) \div 2 \\ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \: n}{2}$

$cos2x + 1 = 0 \\ cos2x = - 1 \\ 2x =2\pi \: n \\ x = \pi \: n$

Answer 2

Давайте решим уравнение sin^2(2x) - cos(2x) - 1 = 0.

Первый подход: Используем тригонометрические тождества

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы свести это уравнение к более простому виду. Вспомним, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Заменим sin^2(2x) в уравнении на (1 - cos^2(2x)) и cos(2x) на (cos^2(x) - sin^2(x)):

(1 - cos^2(2x)) - (cos^2(x) - sin^2(x)) - 1 = 0

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

1 - cos^2(2x) - cos^2(x) + sin^2(x) - 1 = 0

Упростим:

-sin^2(x) - cos^2(x) + cos^2(2x) = 0

Теперь мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

-(1 - cos^2(x)) - cos^2(x) + cos^2(2x) = 0

Раскроем скобки и упростим:

-1 + cos^2(x) - cos^2(x) + cos^2(2x) = 0

-1 + cos^2(2x) = 0

Теперь у нас есть более простое уравнение cos^2(2x) = 1.

Второй подход: Разложение с использованием двойного угла

Мы также можем использовать разложение cos(2x) в терминах более простых тригонометрических функций. Вспомним, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Заменим cos(2x) в уравнении на (2cos^2(x) - 1):

sin^2(2x) - (2cos^2(x) - 1) - 1 = 0

Раскроем скобки:

sin^2(2x) - 2cos^2(x) + 1 - 1 = 0

Упростим:

sin^2(2x) - 2cos^2(x) = 0

Теперь мы можем заменить sin^2(2x) на 1 - cos^2(2x):

1 - cos^2(2x) - 2cos^2(x) = 0

Раскроем скобки и упростим:

1 - cos^2(2x) - 2cos^2(x) = 0

Теперь у нас есть более простое уравнение 1 - cos^2(2x) - 2cos^2(x) = 0.

Решение уравнения

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить:

1. cos^2(2x) = 1 2. 1 - cos^2(2x) - 2cos^2(x) = 0

Решим первое уравнение:

cos^2(2x) = 1

Из этого уравнения мы можем сделать два возможных случая:

1. cos(2x) = 1 2. cos(2x) = -1

Для первого случая, когда cos(2x) = 1, у нас есть два возможных значения x:

2x = 0 + 2πk (k - целое число) x = πk (k - целое число)

Для второго случая, когда cos(2x) = -1, у нас также есть два возможных значения x:

2x = π + 2πk (k - целое число) x = (π + 2πk)/2 (k - целое число)

Теперь решим второе уравнение:

1 - cos^2(2x) - 2cos^2(x) = 0

Мы можем заменить cos^2(2x) на 1 и упростить это уравнение:

1 - 1 - 2cos^2(x) = 0

-2cos^2(x) = 0

Отсюда видно, что cos^2(x) = 0. Это возможно только при x = π/2 + πk (k - целое число).

Ответ

Итак, решение уравнения sin^2(2x) - cos(2x) - 1 = 0 состоит из трех наборов значений x:

1. x = πk (k - целое число) 2. x = (π + 2πk)/2 (k - целое число) 3. x = π/2 + πk (k - целое число)

Пожалуйста, учтите, что это только одно из возможных решений уравнения. Проверьте полученные значения, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы проверить их корректность.