Question

Помогите СРОЧНО sina+sin3a+sin5a+sin7a/cosa-cos3a+cos5a-cos7a = ctga

Answer 1

Преобразуем выражение, используя следующие формулы:

$\sin{x}\pm\sin{y}=2\sin{\dfrac{x\pm y}{2}}\cos{\dfrac{x\mp y}{2}}\\\cos{x}+\cos{y}=2\cos{\dfrac{x+y}{2}}\cos{\dfrac{x-y}{2}}\\\cos{x}-\cos{y}=-2\sin{\dfrac{x+y}{2}}\sin{\dfrac{x-y}{2}}$

Преобразуем левую часть:

$\dfrac{\sin{a}+\sin{3a}+\sin{5a}+\sin{7a}}{\cos{a}-\cos{3a}+\cos{5a}-\cos{7a}}=\dfrac{(\sin{a}+\sin{7a})+(\sin{3a}+\sin{5a})}{(\cos{a}-\cos{7a})+(\cos{5a}-\cos{3a})}=\\=\dfrac{2\sin{4a}\cos{3a}+2\sin{4a}\cos{a}}{2\sin{4a}\sin{3a}-2\sin{4a}\sin{a}}=\dfrac{2\sin{4a}(\cos{3a}+\cos{a})}{2\sin{4a}(\sin{3a}-\sin{a})}=\dfrac{\cos{3a}+\cos{a}}{\sin{3a}-\sin{a}}=\\=\dfrac{2\cos{2a}\cos{a}}{2\sin{a}\cos{2a}}=\dfrac{\cos{a}}{\sin{a}}=ctg\ a$

Таким образом, данное выражение является тождеством.

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем воспользоваться формулой тангенса суммы углов:

$\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A) \cdot \tan(B)}$

В данном случае, мы имеем:

$\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$

Теперь давайте применим эту формулу к исходному выражению:

$\frac{\sin(a) + \sin(3a) + \sin(5a) + \sin(7a)}{\cos(a) - \cos(3a) + \cos(5a) - \cos(7a)}$

Перепишем это выражение, заменив каждый синус и косинус на тангенс:

$\frac{\tan(a) + \tan(3a) + \tan(5a) + \tan(7a)}{1 - \tan(a) \cdot \tan(3a) + \tan(5a) - \tan(7a)}$

Теперь, если мы обратимся к таблице значений тангенса, то увидим следующие соотношения:

$\tan(\pi/4) = 1 \quad \text{и} \quad \tan(3\pi/4) = -1$

Используя эти значения, мы можем сократить выражение:

$\frac{\tan(a) + \tan(3a) + \tan(5a) + \tan(7a)}{1 - \tan(a) \cdot \tan(3a) + \tan(5a) - \tan(7a)} = \frac{\tan(a) - \tan(3a)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(3a)}$

Далее мы можем использовать формулу разности тангенсов:

$\tan(A - B) = \frac{\tan(A) - \tan(B)}{1 + \tan(A) \cdot \tan(B)}$

Применяя эту формулу, мы получаем:

$\frac{\tan(a) - \tan(3a)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(3a)} = \tan(a - 3a) = \tan(-2a)$

Таким образом, мы можем упростить исходное выражение до:

$\tan(-2a) = \cot(2a)$

Таким образом, исходное выражение равно $\cot(2a)$, а не $\cot(a)$ (ctga).