Question

Система { log(x)y+2log(y)x=3 x+y=12

Answer 1

ОДЗ: x>0; x≠1; y>0; y≠1

Обозначим log_x y= t⇒ log_y x=1/t;

t+2/t=3; t^2-3t+2=0; (t-2)(t-1)=0; t=1 или t=2

1 случай. log_x y=1; y=x; подставим во второе: 2x=12; x=6; y=6.

2 случай. log_x y=2; y=x^2; подставим во второе: x^2+x-12=0;
(x+4)(x-3)=0; x= - 4 - не подходит по ОДЗ, или x=3 (⇒ y=9)

Ответ: (6;6);  (3;9)

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки. Начнем с первого уравнения:

log(x)y + 2log(y)x = 3

Мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы переписать это уравнение в более простой форме. Заметим, что log(x)y можно записать как log(x)/log(y). Таким образом, мы можем переписать первое уравнение следующим образом:

(log(x)/log(y))y + 2(log(y)x) = 3

Теперь давайте перейдем ко второму уравнению:

x + y = 12

Теперь мы можем использовать метод подстановки, чтобы избавиться от переменной y. Разрешим второе уравнение относительно y:

y = 12 - x

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

(log(x)/log(12 - x))(12 - x) + 2(log(12 - x)x) = 3

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной x. Мы можем решить его численно или графически, чтобы найти значение x. После нахождения значения x, мы сможем найти значение y, подставив его обратно во второе уравнение.

Помните, что в данной системе уравнений может быть несколько решений, одно решение или же решений может не быть вовсе, в зависимости от значений x и y.