Question

СРОЧНО! А) Решите уравнение cos9x - cos7х = √2sinx Б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 3π/2; -π ]

Answer 1

Ответ:

-П; -33П/32; -41П/32; -43П/32; -35П/32

Объяснение:

cos 9x - cos 7x = √2*sin x

Найти корни на отрезке [-3П/2; -П]

Есть формула разности косинусов:

$cos(a)-cos(b)=-2sin\frac{a+b}{2}*sin\frac{a-b}{2}$

Подставляем:

$cos(9x)-cos(7x)=-2sin\frac{9x+7x}{2}*sin\frac{9x-7x}{2}=-2sin(8x)sin(x)$

Подставляем в наше уравнение:

-2sin 8x*sin x = √2*sin x

0 = √2*sin x + 2sin 8x*sin x

sin x*(√2 + 2sin 8x) = 0

1) sin x = 0; x = Пk.

На указанном отрезке будет корень

x1 = -П

2) √2 + 2sin 8x = 0

sin 8x = -√2/2

8x = -П/4 + 2Пk; x = -П/32 + Пk/4

На указанном отрезке [-3П/2; -П] = [-48П/32; -32П/32] будут корни:

x2 = -П/32 - П = -33П/32

x3 = -П/32 - 5П/4 = -41П/32

3) sin 8x = -√2/2

8x = 5П/4 + 2Пk

x = 5П/32 + Пk/4

На указанном отрезке [-3П/2; -П] = [-48П/32; -32П/32] будут корни:

x4 = 5П/32 - 6П/4 = -43П/32

x5 = 5П/32 - 5П/4 = -35П/32

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(9x) - cos(7x) = √2sin(x) шаг за шагом.

А) Решение уравнения cos(9x) - cos(7x) = √2sin(x):

Перепишем данное уравнение, используя формулу для разности косинусов:

cos(9x) - cos(7x) = √2sin(x)

2sin((9x + 7x)/2)sin((9x - 7x)/2) = √2sin(x)

2sin(8x/2)sin(x/2) = √2sin(x)

sin(4x)sin(x/2) = √2sin(x)

Используем формулу для произведения синусов:

(1/2)(cos(4x - x/2) - cos(4x + x/2)) = √2sin(x)

(1/2)(cos(7x/2) - cos(9x/2)) = √2sin(x)

Теперь применим формулу для разности косинусов:

(1/2)(2sin((7x/2 + 9x/2)/2)sin((7x/2 - 9x/2)/2)) = √2sin(x)

sin(8x/2)sin(-x/2) = √2sin(x)

sin(4x)sin(-x/2) = √2sin(x)

Учтем, что sin(-x/2) = -sin(x/2):

sin(4x)(-sin(x/2)) = √2sin(x)

-sin(x/2)sin(4x) = √2sin(x)

Перенесем все члены в одну сторону:

-sin(x/2)sin(4x) - √2sin(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение синусов и мы можем приступить к его решению.

Б) Найдем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2, -π]:

-sin(x/2)sin(4x) - √2sin(x) = 0

На данном этапе решение уравнения может быть достаточно сложным аналитически, поэтому рекомендуется использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод деления отрезка пополам, чтобы найти приближенные значения корней на данном отрезке.