Question

8sin^2(7п/12+x)-2√3cos2x=5помогите с решением.

Answer 1

$8\sin^2{(\frac{7\pi}{12}+x)-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-5=0}$

Используем формулу связи косинуса двойного угла и синуса.

$-4\cos{(\frac{7\pi}{6}+2x)}-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-5+4=0\\-4\cos{(\pi+(\frac{\pi}{6}+2x))}-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-1=0$

Применим одну из формул приведения аргумента для косинуса.

$-4\cdot (-\cos{(\frac{\pi}{6}+2x)})-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-1=0\\4\cos{(\frac{\pi}{6}+2x)}-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-1=0$

Теперь раскроем косинус суммы и немного упростим.

$4\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos{2x}-\frac{1}{2}\cdot \sin{2x})-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-1=0\\\\2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-2\sin{2x}-2\sqrt{3}\cdot \cos{2x}-1=0\quad |:(-2)\\\\\sin{2x}=-0,5$

Решим простейшее тригонометрическое уравнение

$2x=\{-\pi+\arcsin{0,5}+2\pi k;-\arcsin{0,5}+2\pi k\},k\in \mathbb{Z}.\\2x=\{-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;-\frac{\pi}{6}+2\pi k\},k\in \mathbb{Z}.\\x=\{-\frac{5\pi}{12}+\pi k;-\frac{\pi}{12}+\pi k\},k\in \mathbb{Z}.\\\\Otvet\!\!:\; x=\{-\frac{5\pi}{12}+\pi k;-\frac{\pi}{12}+\pi k\},k\in \mathbb{Z}.$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение: 8sin^2(7п/12+x)-2√3cos2x=5

Для начала, давайте заменим тригонометрические функции через их эквивалентные выражения синуса и косинуса.

Уравнение: 8(1 - cos^2(7п/12+x)) - 2√3(1 - 2sin^2x) = 5

Раскроем скобки:

Уравнение: 8 - 8cos^2(7п/12+x) - 2√3 + 4√3sin^2x = 5

Перенесем все члены в одну сторону:

Уравнение: -8cos^2(7п/12+x) + 4√3sin^2x = -3

Разделим оба выражения на 4:

Уравнение: -2cos^2(7п/12+x) + √3sin^2x = -3/4

Теперь заменим косинус и синус через их эквивалентные выражения:

Уравнение: -2(1 - sin^2(7п/12+x)) + √3sin^2x = -3/4

Раскроем скобки:

Уравнение: -2 + 2sin^2(7п/12+x) + √3sin^2x = -3/4

Перенесем все члены в одну сторону:

Уравнение: 2sin^2(7п/12+x) + √3sin^2x = -3/4 + 2

Упростим правую часть:

Уравнение: 2sin^2(7п/12+x) + √3sin^2x = 5/4

Перепишем синусы через их эквивалентные выражения:

Уравнение: 2(1 - cos^2(7п/12+x)) + √3(1 - cos^2x) = 5/4

Раскроем скобки:

Уравнение: 2 - 2cos^2(7п/12+x) + √3 - √3cos^2x = 5/4

Сгруппируем члены:

Уравнение: 2 + √3 - 2cos^2(7п/12+x) - √3cos^2x = 5/4

Перенесем все члены в одну сторону:

Уравнение: -2cos^2(7п/12+x) - √3cos^2x = 5/4 - 2 - √3

Упростим правую часть:

Уравнение: -2cos^2(7п/12+x) - √3cos^2x = -3/4 - √3/4

Разделим оба выражения на -1:

Уравнение: 2