Question

Докажите неравенство: 4x^2 + 1/x2 (дробь) больше или равно 4

Answer 1

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства неравенства 4x^2 + 1/x^2 >= 4 при условии, что x не равно нулю, можно воспользоваться методом преобразования выражения к квадратному трёхчлену.

Рассмотрим выражение (2x - 1/x)^2, которое раскрывается следующим образом:

(2x - 1/x)^2 = (2x)^2 - 22x1/x + (1/x)^2 = 4x^2 - 4/x^2 + 1/x^2

Заметим, что последнее слагаемое 1/x^2 в этом выражении положительно, поэтому можно записать:

4x^2 - 4/x^2 + 1/x^2 >= 4x^2 - 4/x^2

Осталось показать, что 4x^2 - 4/x^2 >= 4. Это можно сделать, умножив обе части неравенства на x^2 и приведя подобные:

4x^4 - 4 >= 0

Это неравенство верно для любого значения x, отличного от нуля, поскольку его левая часть является произведением двух положительных чисел (4 и x^4), а значит, не может быть отрицательной. Следовательно, исходное неравенство 4x^2 + 1/x^2 >= 4 также верно для любого x, отличного от нуля.