Question

Для натуральнв чисел n,m k сумма n+m+k делится на 6.Докажите ,что сумма n^3+m^3+k^3 также делится на 6

Answer 1

1 cпособ. n³+m³+k³=(n³-n)+(m³-m)+(k³-k)+(n+m+k)=n(n²-1)+m(m²-1)+k(k²-1)+(n+m+k)=(n-1)n(n+1)+(m-1)m(m+1)+(k-1)k(k+1)+(n+m+k).
Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.

2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, ... 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.

3 способ. Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6).
Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6).
Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6).
Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е.
n³+m³+k³≡0 (mod 6).

Answer 2

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться фактом о том, что сумма кубов двух чисел может быть представлена в виде куба суммы этих чисел:

n^3 + m^3 = (n + m)(n^2 - nm + m^2)

Теперь мы можем применить этот факт к сумме трех кубов:

n^3 + m^3 + k^3 = (n^3 + m^3) + k^3 = (n + m)(n^2 - nm + m^2) + k^3 = n^2m + nm^2 + n^2k + nk^2 + m^2k + mk^2

Мы можем заметить, что каждый из членов этой суммы является произведением двух переменных, поэтому мы можем переписать сумму как:

n^2m + nm^2 + n^2k + nk^2 + m^2k + mk^2 = (n+m+k)(n^2+m^2+k^2 - nm - mk - nk)

Теперь мы можем подставить сумму n+m+k, которая делится на 6 по условию задачи:

n^2m + nm^2 + n^2k + nk^2 + m^2k + mk^2 = 6p

где p - целое число. Мы доказали, что сумма n^3+m^3+k^3 делится на 6, что и требовалось доказать.