Question

Доказать,что при любом натуральном n сумма является целым числом.

Answer 1

Объяснение
Допустим мы берём число 1 ( самое элементарное) тогда получаем 1(3)/6+1(2)/2 +1/3 теперь перемножим знаменатели получаем
1(3)/6+3(2)\62/6
Теперь степени
1/6+9/6+2/6=12/6=2
Готово

Answer 2

Для доказательства того, что сумма

$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$$

является целым числом, воспользуемся методом математической индукции.

Базис: При $n=1$ имеем:

$$\frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2},$$

что является целым числом.

Предположение: Пусть утверждение верно для некоторого $n=k$, т.е.

$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)} = m,$$

где $m$ - целое число.

Индукционный переход: Докажем, что из предположения следует утверждение для $n=k+1$. Для этого добавим к сумме слагаемое $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ = & \frac{k+2}{k+1} \cdot \left( \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)} \right) + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ = & \frac{k+2}{k+1} \cdot m + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ = & \frac{(k+2)m+1}{k+1}. \end{aligned}$$

Заметим, что числитель дроби $(k+2)m+1$ является целым числом, поскольку $m$ - целое число и $(k+2)$ - целое число. Значит, сумма для $n=k+1$ также является целым числом.

Итак, мы показали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.