Question

Сумма первого и третьего членов прогрессии равна 2, а её четвёртый член равен 5. Найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии.

Answer 1

По условию:  $a_1+a_3=2$ и  $a_4=5$ . Найти  $S_{15}$

$a_n=a_1+(n-1)d$ - n-ый член арифметической прогрессии в общем виде.

Составим систему

$\displaystyle \left \{ {{a_1+a_3=2} \atop {a_4=5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+a_1+2d=2} \atop {a_1+3d=5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+d=1} \atop {a_1+3d=5}} \right.$

Отнимем второе уравнение от первого, имеем
$2d=4\\ d=2$

Тогда первый член арифметической прогрессии:  $a_1=1-d=-1$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии в общем виде:  $S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Сумма первых 15 членов арифметической прогрессии:

$S_{15}= \dfrac{2a_1+14d}{2} \cdot 15=15\cdot(a_1+7d)=195$



Конечный ответ:  $195$

Answer 2

Обозначим первый член прогрессии как a, а её знаменатель (разность между любыми соседними членами) как d. Тогда третий член будет равен a + 2d, а четвёртый — a + 3d.

Из условия задачи получаем два уравнения: a + (a + 2d) = 2 a + 3d = 5

Решая эту систему уравнений, находим, что a = -1 и d = 2.

Теперь мы можем найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии. Для этого воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: S = (n/2) * (2a + (n-1)d),

где n — количество членов прогрессии, а S — сумма первых n членов.

Подставляем a = -1, d = 2 и n = 15 и получаем: S = (15/2) * (2*(-1) + (15-1)*2) = 210.

Ответ: сумма первых пятнадцати членов прогрессии равна 210.