Question

Площадь прямоугольного треугольника 6 см^2. Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.

Answer 1

S=1/2 ab
ab=2S=6*2=12 cм²

12=1*12=2*6=3*4
Sкв=с²=а²+b²

S1=а²+b²=1²+12²=145
S2=3²+4²=25
S3=2²+6²=40

наименьшее S2=25 см

Answer 2

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена по формуле:

S = (a * b) / 2

где a и b - катеты треугольника.

Известно, что S = 6 см^2. Пусть a и b - катеты данного треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то его площадь также может быть вычислена по формуле:

S = (c^2) / 2

где c - гипотенуза треугольника.

Мы можем выразить гипотенузу через катеты, используя теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

Таким образом, площадь квадрата, построенного на гипотенузе треугольника, будет равна:

S' = c^2

S' = (a^2 + b^2)^2

Теперь мы можем выразить площадь квадрата через площадь прямоугольного треугольника:

S' = (a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 + 4a^2b^2

S' = (a^2 + b^2)^2 + 2a^2b^2

Мы хотим найти наименьшее значение S', поэтому найдем производную от S' по a и приравняем ее к нулю:

dS'/da = 2a(a^2 + b^2) + 4ab^2 = 2a(a^2 + 2b^2) = 0

Таким образом, либо a = 0, либо a^2 + 2b^2 = 0. Но a не может быть равно нулю, так как в этом случае треугольник не будет прямоугольным. Значит, должно выполняться a^2 + 2b^2 = 0, откуда следует, что b = 0 и a = 0. Но это невозможно, так как в этом случае треугольник не будет иметь площади.

Следовательно, S' не имеет минимального значения, а значит, площадь квадрата, построенного на гипотенузе треугольника, не имеет наименьшего значения.