Question

Решите уравнение А)2 sin^2(x+П)-cos(п/2-x)=0 Б)укажите корни этого уравнения,принадлежащие отрезку [-5П/2;-П]

Answer 1

Решение в приложении:

Answer 2

A) Начнем с преобразования выражения:

2 sin^2(x + П) - cos(П/2 - x) = 2 sin^2(x + П) - sin(x)

Мы можем применить формулу синуса разности к cos(П/2 - x), чтобы получить sin(x), а затем заменить ее в уравнении.

cos(П/2 - x) = sin(П/2 - (П/2 - x)) = sin(x)

Теперь у нас есть уравнение:

2 sin^2(x + П) - sin(x) = 0

Мы можем факторизовать sin(x) из обоих членов:

sin(x) (2 sin(x + П) - 1) = 0

Это уравнение имеет два решения: sin(x) = 0 и 2 sin(x + П) - 1 = 0.

Если sin(x) = 0, то x может быть любым целым кратным П, т.е. x = nП, где n - целое число.

Если 2 sin(x + П) - 1 = 0, то sin(x + П) = 1/2. Так как мы ищем корни на отрезке [-5П/2; -П], то мы можем ограничиться углами x на отрезке [-3П/2; -П]. На этом отрезке sin(x + П) = 1/2 при x = -5П/6 и x = -П/6. Следовательно, корни на отрезке [-5П/2; -П] равны:

x = -5П/6 и x = -П.

Б) Мы уже нашли корни на отрезке [-5П/2; -П]: x = -5П/6 и x = -П. Остается проверить, не существует ли других корней на этом отрезке. Так как sin(x) не может превышать по модулю 1, то мы можем ограничиться решением уравнения 2 sin^2(x + П) - cos(П/2 - x) = 0 на отрезке [-5П/2; -П], на котором sin(x) < 0.

Заметим, что 2 sin^2(x + П) всегда неотрицательно, а cos(П/2 - x) может быть отрицательным только на отрезке [-П; -3П/2]. Поэтому, если 2 sin^2(x + П) - cos(П/2 - x) = 0 на отрезке [-5П/2; -П], то это может быть только при sin(x + П) = 0, что эквивалентно sin(x) = 0, и мы уже нашли все корни на этом отрезке.

Таким образом, единственными корнями уравнения 2 sin^2(x + П) - cos(П/2 - x) = 0 на отрезке [-