Question

Cos в квадрате 75- sin в квадрате 75

Answer 1

$cos2a=cos^2a-sin^2a\\cos^275-sin^275=cos(2*75)=cos150=cos(180-30)=\\-cos30=-\frac{\sqrt3}{2}$

Answer 2

Используя тригонометрическое тождество $cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1$, мы можем переписать выражение в следующем виде:

$cos^2 75 - sin^2 75 = (cos^2 75 + sin^2 75) - 2 sin^2 75$

Заметим, что $cos(90 - \theta) = sin\theta$, поэтому $cos 75 = sin 15$. Мы можем выразить $sin 75$ так же, используя тригонометрическое тождество $sin(90-\theta) = cos\theta$, получаем $sin 75 = cos 15$.

Таким образом, мы можем переписать наше выражение в виде:

$(sin^2 15 + cos^2 15) - 2 cos^2 15$

$= 1 - 2 cos^2 15$

Теперь нам нужно найти значение $cos 15$. Мы можем использовать формулу для $cos(a-b)$, чтобы выразить $cos 15$ через $cos 60$ и $cos 45$:

$cos 15 = cos(60-45) = cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь мы можем подставить это значение обратно в наше выражение:

$1 - 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2$

$= 1 - \frac{3+2\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Таким образом, итоговый ответ равен $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.