Question

Корни квадратного уравнения 2019х² + ax + b = 0 — целые числа. Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на 2019².​

Answer 1

$D=a^2-4\cdot 2019 b= a^2-4\cdot2019\cdot b$

Дискриминант извлекается из корня и с учетом того, что корни целые, то можно положить a = ±2019 и b = -2 * 2019

Следовательно, $D=2019^2-4\cdot (-2\cdot 2019)\cdot 2019=2019^2(1+8)$ - делится на 2019²

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Докажем, что дискриминант этого уравнения делится на 2019².

По формуле Виета:

x₁+x₂= -a/2019

x₁•x₂=b/2019

По условию x₁ и x₂ целые числа, тогда a/2019 и b/2019 целые числа. Поэтому a=2019•c и b=2019•d, c∈Z и d∈Z.

Дискриминант имеет вид:

D=a²-4•2019•b=(2019•c)²-4•2019•(2019•d)=2019²•(c²-4•d)

что и доказывает утверждение.

Answer 3

Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, дискриминант можно выразить как $D=b^2-4ac$. В данном случае, у нас есть уравнение $2019x^2+ax+b=0$, так что $a$ и $b$ могут быть любыми целыми числами.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Тогда, согласно формуле корней квадратного уравнения, мы имеем:

$$\begin{aligned} x_1+x_2 &= -\frac{a}{2019}\\ x_1x_2 &= \frac{b}{2019} \end{aligned}$$

Так как корни являются целыми числами, то $x_1+x_2$ и $x_1x_2$ являются целыми числами. Давайте предположим, что дискриминант $D$ не делится на $2019^2$. Это означает, что $D$ можно записать в виде $D=2019^2k+m$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа, причем $0<m<2019^2$.

Тогда, согласно формуле для дискриминанта, мы имеем:

$$\begin{aligned} D &= b^2-4\cdot 2019\cdot b\\ &= (x_1x_2)^2 - 4\cdot 2019\cdot (x_1+x_2)\\ &= \frac{b^2}{2019^2} - 4\cdot\frac{ab}{2019^2}\\ &= \frac{b^2-4ab\cdot 2019}{2019^2}\\ &= \frac{(ax_1-2019x_2)(ax_2-2019x_1)}{2019^2}\\ &= \frac{(a^2-4\cdot 2019b)k+am}{2019^2} \end{aligned}$$

Заметим, что $(ax_1-2019x_2)(ax_2-2019x_1)$ является целым числом, так как $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами. Поскольку $0<m<2019^2$, мы имеем $(a^2-4\cdot 2019b)k+am \neq 0$. Это означает, что дискриминант не может быть записан в виде $D=2019^2k+m$, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы доказали, что дискриминант $D$ должен делиться на $2019^2$.