Question

1.Найдите точку максимума функции y=log9(2-x^2+2x)+4 2.Найдите наибольшее значение функции y=x^5-3x^3+4x промежуток [-3;-1]

Answer 1

Точка максимума/минимума достигается в -b/2a
Где парабола = ax^2+bx+c
-x^2+2x+2
-2/-2=1 - точка максимума

y=x^5-3x^3+4x
y=5x^4-9x^2+4
5x^4-9x^2+4=0
Находим корни подбором среди делителей свободного члена
+-1,+-2,+-4
5-9+4=0
x = 1 
(5x^4-9x^2+4)/(x-1)
5x^3+5x^2-4x-4
Когда сумма нечетных степеней, совпадает с четным, -1 корень решения
5+(-4)=1
5+(-4)=1
(x+1) - корень решения
5x^3+5x^2-4x-4:(x+1)
(5x^2-4)(x+1)(x-1)
D=0-4*5-4=80
x_1,x_2= +-sqrt(80)/10
(x+sqrt(80)/5)(x-sqrt(80)/10)(x+1)(x-1)=0
Найдем экстремумы (методом интервалов получаем) =

max = -1,2/sqrt(5) ; min = 1,-2/sqrt(5)
Наибольшее значение = 2 При х = 1
Наименьшее значение = -2 При х = -1

Answer 2

1. Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем проверить знаки производной в окрестности найденной точки.

y = log9(2-x^2+2x)+4

y' = (1 / ((2-x^2+2x)ln9)) * (-2x + 2) = (-2x + 2) / ((2-x^2+2x)ln9)

y' = 0, когда -2x + 2 = 0, т.е. x = 1.

y'' = (2(x^2 - x + 1)ln9 - 4x) / ((2-x^2+2x)^2ln^29)

Проверяем знаки y'' в окрестности x = 1:

• При x < 1: (x^2 - x + 1) > 0, 2ln9 > 0, следовательно, y'' < 0.
• При x > 1: (x^2 - x + 1) > 0, 2ln9 > 0, следовательно, y'' > 0.

Таким образом, точка x = 1 является точкой максимума функции.

y_max = log9(2-1^2+2*1)+4 = log9(3) + 4.

Ответ: точка максимума функции находится в точке x = 1, ее значение равно y_max = log9(3) + 4.

2. Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном промежутке, нужно найти все стационарные точки (точки, где производная равна нулю или не существует) и сравнить значения функции в этих точках и на концах промежутка.

y = x^5 - 3x^3 + 4x

y' = 5x^4 - 9x^2 + 4

y' = 0, когда x^2 = (9 ± sqrt(41)) / 10.

Точки стационарности находятся вне заданного промежутка [-3, -1].

y(-3) = -94, y(-1) = 2, y(-(9-sqrt(41))/10) ≈ -26.51, y(-(9+sqrt(41))/10) ≈ -15.98.

Самое большое значение функции равно 2, и оно достигается на конце промежутка x = -1.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [-3, -1] равно 2 и достигается в точке x = -1.