Question

Решить пример Sx(10-x^2)dx

Answer 1

$\int x(10-x^2)dx=\int (10x-x^3)dx=10\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, можно воспользоваться методом интегрирования по частям, а именно:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем u = x^2 и dv = S(10 - x^2)dx. Тогда du = 2x dx, а v = ∫(10 - x^2)dx = 10x - (1/3)x^3 + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь можем записать:

∫Sx(10-x^2)dx = (1/2)∫2x(10-x^2)dx = (1/2)[x(10x - (1/3)x^3) - ∫(10x - (1/3)x^3)2xdx]

Вычислим интеграл ∫(10x - (1/3)x^3)2xdx, выбрав u = x^2 и dv = (10x - (1/3)x^3)2xdx. Тогда du = 2x dx, а v = (5/2)x^2 - (1/12)x^4 + C.

Тогда

∫Sx(10-x^2)dx = (1/2)[x(10x - (1/3)x^3) - (5/2)x^2 + (1/12)x^4 + C] + const

где const - еще одна произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, мы получили ответ:

∫Sx(10-x^2)dx = (1/2)[x(10x - (1/3)x^3) - (5/2)x^2 + (1/12)x^4] + C, где C и const - произвольные постоянные.