Question

Вероятность получения дефектной детали с данного станка-автомата равна 0,25. Найти вероятность того, что среди 120 деталей, изготовленных на этом станке, число качественных окажется от 80 до 100. Срочно!

Answer 1

Вероятность получения качественной детали с станка-автомата равна 1-0,25=0,75 (вероятность противоположного события).

По интегральной теореме Лапласа:  $P_n(k_1 \leq k \leq k_2)\approx\Phi(x_2)-\Phi(x_1)$

где  $\Phi(x)=\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^x_0 {e^{-t^2/2}} \, dt,~ x_2= \dfrac{k_2-np}{ \sqrt{npq} } ,~~ x_1= \frac{k_1-np}{ \sqrt{npq} }$


$x_1= \dfrac{80-120\cdot075}{ \sqrt{120\cdot0.75\cdot0.25} } \approx -2.11$

$x_2= \dfrac{100-120\cdot0.75}{ \sqrt{120\cdot 0.75\cdot0.25} } \approx2.11$

Учитывая то, что функция Лапласа нечетная, то есть  $\Phi(-x)=-\Phi(x)$, то искомая вероятность

$P_{120}(80 \leq k \leq 100)\approx\Phi(2.11)-\Phi(-2.11)=0.483+0.483=0.966$

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться биномиальным распределением, которое описывает число успехов в серии из n независимых испытаний с фиксированной вероятностью p успеха в каждом испытании.

Для данной задачи, вероятность получения качественной детали равна p = 0,75 (так как вероятность получения дефектной детали равна 0,25).

Также, известно, что нужно найти вероятность того, что число качественных деталей окажется от 80 до 100 включительно из 120 деталей. Для этого мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией биномиального распределения.

Среднее значение биномиального распределения равно mu = n * p = 120 * 0,75 = 90, а стандартное отклонение равно sigma = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(120 * 0,75 * 0,25) = 5,5.

Для того, чтобы найти вероятность того, что число качественных деталей будет от 80 до 100, мы можем воспользоваться формулой нормального распределения:

P(80 <= X <= 100) = P((80 - mu) / sigma <= (X - mu) / sigma <= (100 - mu) / sigma) = P(-1,64 <= Z <= 1,64),

где X - число качественных деталей, Z - стандартная нормальная случайная величина.

По таблицам стандартного нормального распределения находим, что P(-1,64 <= Z <= 1,64) = 0,90.

Таким образом, вероятность того, что среди 120 деталей, изготовленных на данном станке, число качественных окажется от 80 до 100, равна 0,90 или 90%.