Question

Докажите, что два равенства одновременно не выполнимы ни при каких а и b: cosa = 5cosb - 2 sina = 6cosb + 3

Answer 1

Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Тогда получим
$cos^2(a)+sin^2(a)=25cos^2(b)-20cos(b)+4+36cos^2(b)+36cos(b)+9 \\ 1=61cos^2(b)+16cos(b)+13 \\ 61cos^2(b)+16cos(b)+12=0 \\ D=16^2-4*61*12\ \textless \ 0$
Нет корней. 
Доказано

Answer 2

Предположим, что равенства выполнимы для некоторых a и b. Тогда мы можем записать:

cosa = 5cosb - 2sina (1)

6cosb + 3 = sina + 5cosb (2)

Выразим sina из уравнения (2):

sina = 6cosb + 3 - 5cosb

sina = cosb + 3

Подставим это выражение для sina в уравнение (1):

cosa = 5cosb - 2(cosb + 3)

cosa = 3cosb - 6

Теперь мы имеем два уравнения:

cosa = 3cosb - 6 (3)

sina = cosb + 3 (4)

Возведем оба уравнения в квадрат:

cosa^2 = 9cosb^2 - 36cosb + 36

sina^2 = cosb^2 + 6cosb + 9

Сложим эти два уравнения:

cosa^2 + sina^2 = 10cosb^2 - 30cosb + 45

Но мы знаем, что cosa^2 + sina^2 = 1, поэтому мы можем записать:

10cosb^2 - 30cosb + 44 = 0

Делаем замену переменной: x = cosb

Получаем уравнение: 10x^2 - 30x + 44 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

D = (-30)^2 - 41044 = -440 < 0

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений в действительных числах. Это противоречит нашему предположению о том, что равенства могут быть выполнены для некоторых a и b. Следовательно, равенства невыполнимы для любых a и b.