Question

Дана последовательность, начинающаяся с единицы, в которой каждый следующий член равен удвоенной сумме всех предыдущих. Найти наименьшее число, чтобы элемент под этим номером делился на 3^{2017}. 

Answer 1

Если имеется ввиду ряд
1, 2*1, 2*(1+2) , 2*(1+2+2(1+2)) ,
2(1+2+2(1+2)+2*(1+2+2(1+2))) ..,
То есть можно заметить что получем такой ряд
1, 2, 2*3, 2*3*3, 2*3*9 ..., 2*3^n , n-целое число
По условию 2*3^n/3^(2017) то есть при n=2017 , частное будет целым , так как числа 2 и 3 заведомо взаимно просты ,значит минимальное число это 2*3^2017 , под номером 2017+2=2019

Answer 2

Давайте запишем первые несколько членов последовательности, чтобы понять ее закономерность:

$a_1 = 1$

$a_2 = 2a_1 = 2$

$a_3 = 2(a_1 + a_2) = 6$

$a_4 = 2(a_1 + a_2 + a_3) = 14$

$a_5 = 2(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = 30$

Можно заметить, что каждый следующий член последовательности выражается как удвоенная сумма всех предыдущих членов. Другими словами, $a_n = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1})$ для всех $n > 1$.

Мы хотим найти наименьшее число $n$, такое что $a_n$ делится на $3^{2017}$. Давайте заметим, что $3^{2017}$ делится на $3$, но не делится на $2$. Это означает, что для того, чтобы $a_n$ делилось на $3^{2017}$, необходимо и достаточно, чтобы $a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$ было нечетным числом.

Мы можем выразить сумму $a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$ через $a_n$. Заметим, что:

$a_n = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1})$

$a_{n-1} = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-2})$

Тогда:

$a_n - a_{n-1} = 2a_{n-1}$

$a_{n-1} = \frac{1}{2}(a_n - a_{n-1})$

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = \frac{1}{3}(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$

Таким образом, чтобы $a_n$ делилось на $3^{2017}$, необходимо и достаточно, чтобы $\frac{1}{3}(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$ было нечетным числом. Это означает, что $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ должно быть нечетным и кратным $3$.

Мы можем выразить $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ через $a_n$. Заметим, что:

$a_n = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1})$

$a_{n-1} = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-2})$

$a_{n-2} = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-3})$

$\cdots$

$a_2 = 2a_1$

Тогда:

$a_n = 2(a_{